ОБОЙДИ  УЖЕ  ЭТИ  ГРАБЛИ! :-)

• Hовое на сайте
  
  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Решение задач на формулу n-го члена.
    

  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Основа для решения заданий.
    

  • 
    В разделе 555:
    Разбираемся с арками. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях.
    

  • 
    В разделе 2:
    Что такое математическая модель? Составление математической модели.
    

  • 
    В разделе 555:
    Как решать дробные уравнения?
    

• Как проходит ЕГЭ?
  >
  • Перед экзаменом.
     
  • Во время экзамена.
     
  • По окончании экзамена.

• Что будет на ЕГЭ по математике?
  >
  • Базовый и профильный уровни.
     
  • Как работать на ЕГЭ?

• Система оценок в ЕГЭ

• Как готовиться к ЕГЭ?

• Как учить математику?

• Дроби
  >
  • Виды дробей. Преобразования.
     
  • Сложение и вычитание дробей.
     
  • Умножение и деление дробей.

• Уравнения
  >
  • Как решать уравнения? Тождественные преобразования.
     
  • Линейные уравнения.
     
  • Квадратные уравнения. Дискриминант.
     
  • Дробные уравнения. ОДЗ.

• Решение задач по математике
  >
  • Как решать задачи по математике?
     
  • Что такое математическая модель? Составление математической модели.
     
  • Задачи на движение.
     
  • Задачи на работу.

• Проценты. Задачи на проценты

• Числовые и алгебраические выражения. Преобразования выражений
  >
  • Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования.
     
  • Разложение на множители.
     
  • Формулы сокращённого умножения.

• Квадратные корни
  >
  • Что такое квадратный корень?
     
  • Свойства (формулы) корней. Как умножать корни?
     
  • Как делить корни? Корень из квадрата. Корень в квадрате.

• Арифметическая прогрессия
  >
  • Понятие арифметической прогрессии. Разность прогрессии.
     
  • Формула n-го члена арифметической прогрессии.
     
  • Сумма арифметической прогрессии.

• Логарифмы. Основы

• Тригонометрия. Основные понятия
  >
  • Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
     
  • Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность.
     
  • Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
     
  • Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
     
  • Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.
     
  • Как не забыть таблицу синусов и косинусов.
     
  • Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

• Тригонометрия. Решение уравнений
  >
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью круга.
     
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

• Неравенства
  >
  • Линейные неравенства. Решение, примеры.
     
  • Квадратные неравенства. Решение, примеры.

• Показательные уравнения

• Логарифмические уравнения
  >
  • Простейшие логарифмические уравнения
     
  • ОДЗ в логарифмических уравнениях

Сумма арифметической прогрессии.

Сумма арифметической прогрессии - штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных.

Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много... сложение напрягает.) В этом случае спасает формула.

Формула суммы выглядит просто:

Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит.

S_n - сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый - прямое применение формулы разочарует.)

a₁ - первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда.

a_n - последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите.

n - номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов.

Определимся с понятием последнего члена a_n. Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?)

Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и... внимательно читать задание!)

В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена.

Самое главное - понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии. Количество этих самых первых членов, т.е. n, определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да... Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.)

Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии.

Прежде всего, полезная информация:

Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.

Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное - не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА.

1. Арифметическая прогрессия задана условием: a_n = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов.

Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a₁, последний член a_n, да номер последнего члена n.

Где взять номер последнего члена n? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер - десятый!) Стало быть, вместо a_n в формулу будем подставлять a₁₀, а вместо n - десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов.

Осталось определить a₁ и a₁₀. Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого - никак.

Находим:

a₁= 2·1 - 3,5 = -1,5

a₁₀=2·10 - 3,5 =16,5

S_n = S₁₀.

Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать:

Вот и все дела. Ответ: 75.

Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее:

2. Дана арифметическая прогрессия (a_n), разность которой равна 3,7; a₁=2,3. Найти сумму первых 15 её членов.

Сразу пишем формулу суммы:

Смотрим, что у нас для формулы есть, а чего не хватает. Есть первый член и количество членов:

a₁=2,3

n=15

Не хватает значения a_n, т.е. последнего члена. В нашем случае последним членом будет a₁₅. Зато есть разность прогрессии d=3.7. Это намёк.) На применение формулы n-го члена. Я же говорил, что без неё - никак. Вот она, формула:

Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой:

a₁₅ = 2,3 + (15-1)·3,7 = 54,1

Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ:

Ответ: 423.

Кстати, если в формулу суммы вместо a_n просто подставим формулу n-го члена, получим:

Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Как видим, тут не требуется n-й член a_n. В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да... Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.)

Теперь задание в виде краткой шифровки):

3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём.

Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще... Как жить!?

Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа - знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут...

Кратные трём... Гм... Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится... 12... делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!)

Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии:

d = 3.

a₁= 12

a_n= 99

А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 - фатально заблуждается... Номера - они всегда подряд идут, а члены у нас - через тройку перескакивают. Не совпадают они.

Тут два пути решения. Один путь - для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь - для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 - это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30.

Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии:

Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы:

a₁= 12.

a₃₀= 99.

n = 30.

S_n = S₃₀.

Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем:

Ответ: 1665

Ещё один тип популярных задачек:

4. Дана арифметическая прогрессия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый.

Смотрим на формулу суммы и... огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого... Не сработает формула.

Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но... как-то тупо и долго получается, правда?)

Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть - с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S_1-19, да сложим с суммой членов второй части S_20-34, получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S_1-34. Вот так:

S_1-19 + S_20-34 = S_1-34

Отсюда видно, что найти сумму S_20-34 можно простым вычитанием

S_20-34 = S_1-34 - S_1-19

Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем?

Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии:

d = 1,5.

a₁= -21,5.

Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2:

a₁₉= -21,5 +(19-1)·1,5 = 5,5

a₃₄= -21,5 +(34-1)·1,5 = 28

Далее, по формулам:

Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов:

S_20-34 = S_1-34 - S_1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Ответ: 262,5

Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S_20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно - S_1-19. А уж потом определили и S_20-34, отбросив от полного результата ненужное. Такой "финт ушами" частенько спасает в злых задачках.)

В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.)

Практический совет:

При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы.

Формулу n-го члена:

Формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает.

А теперь задачи для самостоятельного решения.

5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три.

Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет.

6. Арифметическая прогрессия задана условием: a₁ =-5,5; a_n+1= a_n+0,5. Найдите сумму первых 24 её членов.

Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются.

7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи?

Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2.

Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6.

<<<<   Предыдущая страница: Формула n-го члена арифметической прогрессии. Применение.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.