Oтзывы о сайте Oпросы сайта   Hовости ЕГЭ  

 

Содержание сайта
Раздел 1.
Про ЕГЭ.





 

Раздел 2.
ЕГЭ на 3.










 

Раздел 3.
ЕГЭ на 4.







 

Раздел 4.
ЕГЭ на 5.


 

Раздел 5.
Решаем
задания ЕГЭ.


 

Раздел 555.
Особый.


 

 

Написать автору: egesdam@ya.ru

 

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    18.05.2010
Редакция 16.10.2015

Дробные уравнения. ОДЗ.


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )

Продолжаем осваивать  уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения. Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения. Это одно и то же.

 

Дробные уравнения.

Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе. Хотя бы в одном.  Например:

Или:

Напомню, если в знаменателях только числа, это линейные уравнения.

Как решать дробные уравнения? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего,  превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2.  Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.

Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.

Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:

Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?

В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2). Умножаем:

Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:

Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2)! Так, целиком, её и пишу:

В левой части сокращается целиком (х+2), а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:

А это уравнение уже решит всякий!  х = 2.

Решим ещё один пример, чуть посложнее:

Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/1, можно записать:

И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.

Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2). А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:

 Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.

С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!

А вот теперь уже раскрываем скобки:

Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:

Классическое квадратное уравнение. Но минус впереди – нехорош. От него можно всегда избавиться, умножением или делением на -1. Но если присмотреться к примеру, можно заметить, что лучше всего это уравнение разделить на -2! Одним махом и минус исчезнет, и коэффициенты посимпатичнее станут! Делим на -2. В левой части – почленно, а в правой – просто ноль делим на -2, ноль и получим:

Решаем через дискриминант и проверяем по теореме Виета. Получаем х = 1 и х = 3. Два корня.

Как видим, в первом случае уравнение после преобразования стало линейным, а здесь – квадратным. Бывает так, что после избавления от дробей, все иксы сокращаются. Остаётся что-нибудь, типа 5=5. Это означает, что икс может быть любым. Каким бы он не был, всё равно сократится. И получится чистая правда, 5=5. Но, после избавления от дробей, может получиться и совсем неправда, типа 2=7. А это означает, что решений нет! При любом иксе получается неправда.

Осознали главный способ решения дробных уравнений? Он прост и логичен. Мы меняем исходное выражение так, чтобы исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. Точно так же мы будем поступать и со всякими сложными примерами с логарифмами, синусами и прочими ужасами. Мы всегда будем от всего этого избавляться.

Однако менять исходное выражение в нужную нам сторону надо по правилам, да… Освоение которых и есть подготовка к ЕГЭ по математике. Вот и осваиваем.

Сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных засад на ЕГЭ! Но для начала посмотрим, попадаете вы в неё, или нет?

Разберём простой пример:

Дело уже знакомое, умножаем обе части на (х – 2), получаем:

Напоминаю, со скобками (х – 2) работаем как с одним, цельным выражением!

Здесь я уже не писал единичку в знаменателях, несолидно… И скобки в знаменателях рисовать не стал, там кроме х – 2 ничего нет, можно и не рисовать. Сокращаем:

Раскрываем скобки, переносим всё влево, приводим подобные:

Решаем, проверяем, получаем два корня. х = 2 и х = 3. Отлично.

Предположим в задании сказано записать корень, или их сумму, если корней больше одного. Что писать будем?

Если решите, что ответ 5, – вы попали в засаду. И задание вам не засчитают. Зря трудились… Правильный ответ 3.

В чём дело?! А вы попробуйте проверку сделать. Подставить значения неизвестного в исходный пример. И если при х = 3  у нас всё чудненько срастётся, получим 9 = 9, то при х = 2 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Значит х = 2  решением не является, и в ответе никак не учитывается.  Это так называемый посторонний или лишний корень. Мы его просто отбрасываем. Окончательный корень один. х = 3.

Как так?! – слышу возмущённые возгласы. Нас учили, что уравнение можно умножать на выражение! Это тождественное преобразование!

Да, тождественное. При маленьком условии – выражение, на которое умножаем (делим) – отлично от нуля. А х – 2 при х = 2 равно нулю! Так что всё честно.

И что теперь делать?! Не умножать на выражение? Каждый раз проверку делать? Опять непонятно!

Спокойно! Без паники!

В этой тяжелой ситуации нас спасут три магических буквы. Я знаю, о чем вы подумали. Правильно! Это ОДЗ. Область Допустимых Значений.

 

ОДЗ. Область Допустимых Значений.

Это те значения икса, которые могут быть в принципе. Скажем, в уравнении:

мы не знаем пока, чему равен икс. Мы пока уравнение не решили. Но уже твёрдо знаем, что икс не может равняться нулю ни при каких обстоятельствах! На ноль делить нельзя! На любое другое число – целое, дробное, отрицательное – пожалуйста, а на ноль – ни в коем разе! Иначе исходное выражение становится бессмыслицей. Это означает, что ОДЗ в этом примере: х – любое, кроме нуля. Уловили?

Как записывать ОДЗ, как вообще с этим работать?

Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Или можно наоборот: найти запретные значения х, при которых исходный пример теряет всякий смысл, и исключить их из ОДЗ.

Я специально акцентирую внимание на словах исходный пример. Это важно. Преобразование может изменить ОДЗ и, соответственно, ответ.

Далее мы спокойно решаем уравнение, находим корни. И проверяем их на соответствие ОДЗ. Те решения или корни, которые не входят в ОДЗ – безжалостно выбрасываются.

А как искать это самое ОДЗ? Тоже просто. Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия. Таких запретных действий в математике очень мало. Но и их не все помнят… Нельзя делить на ноль. Это актуально в этой теме. Есть ещё запреты в корнях чётной степени и в логарифмических уравнениях – это мы рассмотрим в соответствующих темах. Всё. Когда мы нашли опасные места, вычисляем иксы, которые приведут к бессмыслице. И исключаем их из ОДЗ.

Важно! Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных иксов. Это сложно выглядит в разъяснениях, но практически – очень легко. До удивления. Смотрите сами. Возьмём предыдущий пример:

Сразу замечаем, что в примере есть операция деления на х – 2. Вот и пишем:

ОДЗ.

Вот и всё. Соломки подстелили. Теперь мы можем умножать всё уравнение на (х – 2). Это по-прежнему будет не совсем тождественное преобразование, но все вредные последствия от нарушения тождественности мы исключим по ОДЗ.

А как же первые два уравнения? Там что, нет ОДЗ? Есть конечно. Есть деление на неизвестное – есть ОДЗ. В примере:

ОДЗ

А в примере:

ОДЗ

Я специально в этих примерах ничего не сказал про ОДЗ. Чтобы вас не спугнуть…  В этих двух примерах ОДЗ никак не сказалось на ответах. Такое бывает. Но в заданиях ЕГЭ ОДЗ, как правило, влияет на ответ! ОДЗ писать надо. Не для проверяющих, для себя. ОДЗ не пишут, если очевидно, что икс – любое число. Как, например, в линейных уравнениях.

Мы с ОДЗ дружить будем. Во всех темах, где потребуется, будем ОДЗ вспоминать. Чтобы не попасть в засаду.

Практические советы:

1. Перед решением внимательно исследуем пример. Ищем опасные места, определяем ОДЗ.

2. Определяем множитель, который позволит полностью избавиться от дробей. Умножаем на него уравнение.

3. Решаем получившееся уравнение, находим корни. Проверяем их на соответствие ОДЗ. Те корни, что не входят в ОДЗ, из ответа исключаем.

А сейчас, вооружившись глубокими познаниями и практическими советами, решаем примеры.





Посказка: в каждом уравнении только одно решение. Один корень. Ответы в традиционном беспорядке:

0, 21, 12, 3, 2.

Что, у вас иксов поболее будет? Бывает. Про ОДЗ не забыли, часом? Кое-какие корни выкидывать надо. ОДЗ учли, а всё равно не получается? Да-а-а... Проблемка. Такие уравнения надо уметь решать, слишком они популярны во всех темах математики. Но не падайте духом!)

В Разделе 555 дан простой алгоритм решения любых дробных уравнений. Четыре несложных шага и дело сделано. Я там все эти примеры прогнал через алгоритм - и всё получилось!) А подробная расписка каждого элемента решения позволит вам найти свои ошибки.

 

Ну вот, основы дробных уравнений освоили. Это оч-ч-чень нам пригодится в теме про задачи!

Но до того мы другие задачи научимся решать. На проценты. Те ещё грабли, между прочим!

Предыдущая страница: Уравнения. Как решать квадратные уравнения? Дискриминант.

Следующая страница: Проценты в математике. Задачи на проценты.

 

Если Вам нравится этот сайт...

 

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

 

 

 

 

 

 

 

Яндекс.Метрика