ОБОЙДИ  УЖЕ  ЭТИ  ГРАБЛИ! :-)

• Hовое на сайте
  
  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Решение задач на формулу n-го члена.
    

  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Основа для решения заданий.
    

  • 
    В разделе 555:
    Разбираемся с арками. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях.
    

  • 
    В разделе 2:
    Что такое математическая модель? Составление математической модели.
    

  • 
    В разделе 555:
    Как решать дробные уравнения?
    

• Как проходит ЕГЭ?
  >
  • Перед экзаменом.
     
  • Во время экзамена.
     
  • По окончании экзамена.

• Что будет на ЕГЭ по математике?
  >
  • Базовый и профильный уровни.
     
  • Как работать на ЕГЭ?

• Система оценок в ЕГЭ

• Как готовиться к ЕГЭ?

• Как учить математику?

• Дроби
  >
  • Виды дробей. Преобразования.
     
  • Сложение и вычитание дробей.
     
  • Умножение и деление дробей.

• Уравнения
  >
  • Как решать уравнения? Тождественные преобразования.
     
  • Линейные уравнения.
     
  • Квадратные уравнения. Дискриминант.
     
  • Дробные уравнения. ОДЗ.

• Решение задач по математике
  >
  • Как решать задачи по математике?
     
  • Что такое математическая модель? Составление математической модели.
     
  • Задачи на движение.
     
  • Задачи на работу.

• Проценты. Задачи на проценты

• Числовые и алгебраические выражения. Преобразования выражений
  >
  • Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования.
     
  • Разложение на множители.
     
  • Формулы сокращённого умножения.

• Квадратные корни
  >
  • Что такое квадратный корень?
     
  • Свойства (формулы) корней. Как умножать корни?
     
  • Как делить корни? Корень из квадрата. Корень в квадрате.

• Арифметическая прогрессия
  >
  • Понятие арифметической прогрессии. Разность прогрессии.
     
  • Формула n-го члена арифметической прогрессии.
     
  • Сумма арифметической прогрессии.

• Логарифмы. Основы

• Тригонометрия. Основные понятия
  >
  • Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
     
  • Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность.
     
  • Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
     
  • Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
     
  • Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.
     
  • Как не забыть таблицу синусов и косинусов.
     
  • Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

• Тригонометрия. Решение уравнений
  >
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью круга.
     
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

• Неравенства
  >
  • Линейные неравенства. Решение, примеры.
     
  • Квадратные неравенства. Решение, примеры.

• Показательные уравнения

• Логарифмические уравнения
  >
  • Простейшие логарифмические уравнения
     
  • ОДЗ в логарифмических уравнениях

Формулы сокращённого умножения.

Квадрат суммы. Квадрат разности. Разность квадратов. Куб суммы. Куб разности. Сумма кубов. Разность кубов.

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения. В краткой записи - ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Вот они:

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...

Напомню, что преобразование выражений - основа всей математики. Сообразил, как и что преобразовать можно - значит, решил пример. Не сообразил - не решил. Как можно преобразовать выражение, к примеру, (a+b)(a-b)? Можно скобки просто так перемножить да привести подобные. Не проблема. А как преобразовать a²- b²? Попробуй сообрази, чему это равняется? Только память и спасает, да...)

С точки зрения математики равенства:

(a+b)(a-b)=a²- b²

и

a²- b²=(a+b)(a-b)

вообще-то, абсолютно равнозначны. Это одно и то же равенство. Но первая запись никаких новых возможностей не даёт. Умножение, и всё тут. А вот вторая запись резко повышает ваш математический уровень. Сомневаетесь? Не надо.) Потому, что равенство:

a²- b²=(a+b)(a-b)

есть разложение на множители. А это, между прочим, поважнее простого умножения будет, да...) Кто не в курсе, сходите по ссылке, сами убедитесь. И такое разложение на множители имеет место во всех формулах сокращённого умножения! Если глянуть на список, в левой части каждого равенства мы увидим умножение скобок:

(a+b)²= (a+b)(a+b)

(a-b)²= (a-b)(a-b)

(a+b)³= (a+b)(a+b)(a+b)

и так далее.

Следовательно, левая часть каждого равенства разложена на множители. А правая часть - нет. Другими словами, перечень формул, что приведён в начале урока - это, действительно, просто сокращённое умножение. Но стоит поменять местами левую и правую части равенств, как этот список становится формулами разложения на множители!

Я даже не поленюсь переписать этот перечень ещё раз, но в другом виде):

Такая запись замечательно подходит для разложения на множители, и, следовательно, для упрощения и решения огромного количества самых разнообразных примеров. Полезная штука. Но есть одна проблемка... Как это всё запомнить?

Как запомнить формулы сокращённого умножения?

Для начала не мешает запомнить названия формул. Это несложно. Смотрим, например, на выражение (a+b)² и видим, что это - скобки в квадрате, или квадрат скобок. А в скобках что? Сумма! Стало быть, это выражение будет называться квадрат суммы. Аналогично, (a-b)² будет квадрат разности.

А как назвать выражение (a+b)³? Вы удивитесь, но это будет куб суммы!) Аналогично, (a-b)³ - куб разности.

А как кратко и точно назвать выражение a²- b²? "От одного числа в квадрате отнять другое число в квадрате"? Это точно, но не кратко.) "Эта фиговина"? Кратко, но не точно.) Оцените название разность квадратов. Кратко и точно!

Думаю, выражения с названиями сумма кубов и разность кубов вас уже не поставят в тупик.

Сложнее запомнить сами формулы. Здесь как раз тот случай, когда необходима механическая память. Итак, запоминаем квадрат суммы:

Просто пучить глазки на формулу будет недостаточно.) Очень сильно рекомендую надёжно зазубрить (именно зазубрить!) словесную формулировку:

Квадрат суммы равен: квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Это заклинание реально помогает решать различные задания школьной математики. Ниже сами увидите. Более того, в ВУЗе, при работе с интегралами, вы эту формулировку не один раз вспомните...

Дальше уже легче. Можно включать логику. Идём по возрастанию трудности. Формула для квадрата разности:

Найдите отличие от квадрата суммы.) Да, перед удвоенным произведением появился минус. Должен же он где-то появиться?! Перед a² и b² он появиться не может, т.к. любое число в квадрате есть число положительное. Только в серединке.)

Разность квадратов a²- b²=(a+b)(a-b) и так неплохо запоминается. Единственно, можно ошибочно поставить в скобках два плюса, или два минуса. Но тогда это будет квадрат суммы, или квадрат разности! А это уже другие формулы.

Переходим к сумме кубов и разности кубов:

Приём для запоминания: в первых скобках знак повторяет знак в исходном выражении. Плюс - плюс, минус - минус. А во вторых скобках - меняется на противоположный. И меняется не перед a² и b², а снова в серединке! Квадраты положительные!

Кстати, сравните выражения во вторых скобках с формулами квадрата суммы/разности.

Нашли отличия?) Да, единственное отличие - в кубах не хватает двойки посередине. Поэтому выражение a²+ab+b² или a²-ab+b² часто называют неполным квадратом суммы/разности. Слово неполный помогает запоминанию. Допустим, нахлынут сомнения: писать двойку в сумме/разности кубов, или не писать? Тут надо вспомнить, что в кубах сидит неполный квадрат. Потому, что для полного квадрата есть свои формулы! Которые к кубам - никаким боком.)

Ну и последняя парочка. Куб суммы и куб разности:

Запоминаем куб суммы. Прежде всего: все знаки в формуле - плюсы! Откуда минусам взяться, если мы перемножаем только положительные выражения!? Далее: первое и последнее слагаемые - чистые кубы первого м второго чисел соответственно. В серёдке - утроенные произведения.

Гляньте, как в формуле идёт а: эта переменная идёт по убыванию степени! В первом слагаемом a³, во втором a², в третьем a. Переменная b идёт по возрастанию степени: во втором b, в третьем b², в четвёртом b³. Такой порядок помогает не запутаться.

Если запомнили куб суммы, куб разности запоминается без проблем. Всё то же самое, только минусы надо правильно поставить. А это, как раз, легко сообразить. С минусом у нас какая переменная? Переменная b у нас с минусом. В слагаемых, где стоит b в первой степени, и в кубе - будет минус. Потому, что минус в первой степени и кубе всегда даёт минус. А минус во второй степени (b²) даст плюс. Вот и все дела.

То, что я рассказал здесь - не жёсткие правила математики. Это просто практические приёмы, которые помогают запомнить формулы сокращённого умножения. Для себя.)

Но самый надёжный способ запоминания, как ни крути - решать побольше заданий. Без шпаргалки! Через десяток-другой примеров, всё это само собой запомнится. Порешаем?)

Как применять формулы сокращённого умножения?

Начнём с прямого применения ФСУ, для разминки.)

Выполнить умножение:

(3х+5)(3х+5)

Редкий кадр не увидит здесь квадрат скобок!) Конечно, можно и просто перемножить, но нам размяться нужно, правда?) Пишем:

(3х+5)(3х+5)=(3х+5)²

Видим квадрат суммы и вспоминаем заклинание):

"Квадрат первого числа...". За первое число у нас идёт 3х. Квадрат будет 9х²:

(3х+5)² =9х².......

"Плюс удвоенное произведение первого числа на второе...". Так, удвоенное - это умножение на двойку, первое число - 3х, второе число - пятёрка. Пишем:

(3х+5)² =9х²+2·3х·5....

"Плюс квадрат второго числа." Второе число - пятёрка. Квадрат пятёрки - 25:

(3х+5)² =9х²+2·3х·5+25

Всё. Осталось перемножить то, что перемножается (два на три и пять во втором слагаемом) и получим ответ:

(3х+5)² =9х²+30х+25

Это была разминка. Теперь задание покруче.)

Разложить на множители:

4х²+12х+9

Во. Смотрим на формулы сокращённого умножения. На второй список, который удобен для разложения на множители. Там нашего выражения нет). Здесь важно вспомнить, что под буквами a и b могут скрываться любые числа, буквы и другие выражения. Поэтому ищем похожую формулу. И зацепкой будут степени переменной!

В нашем выражении есть икс в квадрате и первой степени. Сразу выкидываем из рассмотрения равенства 4-7. Там сидят кубы, которых у нас нет. Далее выкидываем равенство 3. Там нет переменной в первой степени, только квадраты. А у нас - есть.

Остаются две первые формулы. Уже легче, правда?) Осталось сообразить, что в нашем выражении - только плюсы. А во втором равенстве есть в серединке минус... Отбрасываем его. Похожая формула - это квадрат суммы.

Но не факт, что квадрат суммы сработает, совсем не факт! Надо убедиться, что наше выражение точно совпадает с левой частью этого равенства. Только тогда можно будет записать и правую часть, т.е. разложение на множители. Проверяем выражение по шагам. Напишу, для удобства, прямо одно под другим:

a²+2ab+b²=(a+b)²

4х²+12х+9 =

Надо найти, что скрывается под буквами a и b в нашем конкретном выражении. Начинаем прямо с первого слагаемого. Предположим, что a² - это 4х². Тогда чему равно само a? Какое выражение в квадрате даст 4х²? Видимо, 2х. Значит, a=2х. Так, с первым числом определились. Едем дальше.

Что у нас скрывается под выражением b²? Ну, всяко не 12х! Икс в букве a сидит. Значит, под b² скрывается девятка! Следовательно, b - это тройка. Вот мы и нашли второе число.

Всё, можно записывать разложение?

Нет.

Нужна последняя, окончательная проверка по 12х. Надо убедиться, что 12х точно соответствует 2ab. Вспоминаем заклинание):

"Квадрат суммы равен: квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа".

Так, за первое число у нас идёт 2х, за второе - тройка. С замиранием сердца составляем удвоенное произведение первого числа на второе:

2·2х·3 = 12х

Вау!!! Совпало! Значит, наше выражение - это действительно квадрат суммы 2х и 3. Теперь можно с чистой совестью записать ответ:

4х²+12х+9 =(2х+3)²=(2х+3)(2х+3)

Идея решения понятна? Сначала ищем в списке похожее выражение. Затем сверяем с ним то, что дано в задании на полное соответствие. Если всё совпало, записываем ответ по формуле. Если не совпало (бывает такое), значит раcкладывать наше выражение надо как-то по-другому.

Теперь плавно переместимся в старшие классы. Вы не поверите, но формулы сокращённого умножения там тоже нужны!)

Упростить выражение:

Вся мощь тригонометрии слабо помогает в этом примере. Только седьмой класс и спасает, да...)

Конечно, это выражение похоже на квадрат суммы. Вот и попробуем его применить к этому выражению. Что будет скрываться под буквами а и b? Очевидно, sin²x и cos²x. Удвоенное произведение, ежу понятно, будет 2sin²xcos²x, как в нашем выражении и записано. Можно смело применять формулу сокращённого умножения:

А вот теперь и тригонометрия в дело сгодится! Что у нас в скобочках? У нас в скобочках основное тригонометрическое тождество!

Единица в квадрате всё равно единица будет. Вот и ответ:

Конечно, подобные примеры в этом уроке легко решаются. Но на практике, когда человек погружён в синусы и логарифмы, разложение на множители просто не приходит в голову... Проверяйте хитрые примеры на алгебру седьмого класса!

Ещё из той же оперы:

Вычислить:

4lg²2+4lg2·lg250+lg²250 =

Пример хитрый, да...) Логарифмические формулы как-то трудно применить... Проверим на алгебру? Выражение похоже на квадрат суммы. Тогда что пойдёт за букву а? За букву а пойдёт 2lg2. За букву b пойдёт lg250. Удвоенное произведение будет... будет... 4lg2·lg250. Да! Совпало! Это квадрат суммы. Можно записать:

4lg²2+4lg2·lg250+lg²250 =(2lg2+lg250)²

А вот теперь, в скобках, действия с логарифмами хорошо идут!

(2lg2+lg250)²=(lg4+lg250)²=lg²1000=3² = 9

Вот так приручаются монстры). Полезная штука - формулы сокращённого умножения!)

Предыдущая страница: Разложение на множители. Примеры.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.