Новости ЕГЭ

Отзывы о сайте

Опросы сайта

 

Подготовка к ЕГЭ по математике.

 

Содержание сайта


1. Что такое ЕГЭ и с чем его ЕДЯ...?

2. С тебя и тройки хватит!

3. ЕГЭ на 4? А не лопнешь от счастья?


4. ЕГЭ на 5 и выше? Не, нереально...


5. Раздел 555. Особый.


6. Решение заданий ЕГЭ по математике.

 

Написать автору

 


 

 

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    04.08.2010

Как решать задачи по математике? Что такое математическая модель?


В заданиях ЕГЭ обязательно встречаются задачи по математике. До 2010 года это были обычные задачи, которые вы решали (ну, или должны были решать…) в школе. Задачи, как в учебниках, классические. А вот в 2010 году добавился новый класс задач. Которые в учебниках блистательно отсутствуют.

Расскажу вам сначала  о них, а потом разберём классику.

Итак, в ЕГЭ появились так называемые компетентностные задачи. . Такое вот страшное научное слово. Сразу и не выговоришь. А суть их очень проста. Типа надо посчитать самый выгодный тарифный план для телефона. Или выбрать самый короткий путь из нескольких вариантов. Или определить самую низкую температуру за какой-то период. Или разобраться со скидками на товары и выбрать самый дешёвый вариант. Короче, это задачи на элементарные житейские навыки.

Задачи очень просты. В них, как правило, не нужно вводить икс, составлять уравнения. Проблема только в том, что в школьных учебниках такие задачи не рассматриваются. Поэтому кажутся непривычными. Типа, не проходили такого… А непривычное пугает.

Как решать компетентностные задачи?

Прежде всего – не бояться! Всё, что надо для решения этих задачек,  вы проходили. И проценты в математике, и формулы площадей, и среднюю скорость, и графики и всё такое… Причём в этих задачах и не требуются глубокие знания. Одно - два действия на самые примитивные формулы. А вот житейская логика необходима. Она, житейская логика, в этих задачах – самое  главное.

Скажем, дана задачка, в которой нужно рассчитать количество обоев для оклейки комнаты. Дана картинка комнаты с размерами. На картинке нарисованы окно и дверь – тоже с размерами.

Из всех математических знаний здесь требуется всего одно откровение – формула площади прямоугольника. Но этого маловато. Нужна ещё житейская логика. Допустим, вы никогда не клеили обои. И не знаете всех тонкостей этого дела. Но сообразить, что заклеивать окно обоями не следует, можно? Да и дверь тоже не надо. Собственно, потолок и пол тоже обоями не принято оклеивать…

Хотя в задаче все эти условия не оговорены.

Следовательно, считаем площадь стен (и только их!) и вычитаем из этой величины площадь окна и двери. Всё.

Уловили? В таких задачках математика обязательно должна дополняться вашими элементарными соображениями по жизни. Иначе задачки не решаются, или решаются неправильно. Но не волнуйтесь. Никто и не предполагает, что вы должны обладать знаниями профессионального обойщика, пилота или доярки. Реально всё проще. Главное – внимательно прочитать задачу! Там всё написано. А та информация, которой как бы не хватает – из житейской логики берётся. Из самой элементарной житейской логики. Главное – не забыть про эти житейские соображения.

Вот и всё. Никаких мудрёностей.

Займёмся классическими задачами по математике. Их ещё называют текстовыми задачами. Они, как правило, посложнее в математическом плане.  Но здесь я вам точно смогу помочь. Это проще, чем житейские навыки приобретать…

Как решать задачи по математике?

Классические задачи решаются всегда в два этапа. На первом этапе надо составить уравнение  (или систему уравнений). На втором этапе это уравнение надо, понятное дело, решить.

Как решать уравнения подробно и доступно расписано по этой ссылке. А как составлять уравнения для задач по математике, мы сейчас разберёмся.

Среди всего многообразия задач можно выделить четыре большие группы.
1. Задачи на движение.
2. Задачи на работу (на совместную работу).
3. Задачи на проценты.
4. Остальные...

Из текста задачи сразу ясно, к какой группе она принадлежит. Если куда-то едут  автомобили, катера, велосипеды, идут туристы и т.п. – задача на движение. Если кто-то чего-то делает: пашет поле, наливает воду в бак, точит детали – задача на работу. Если о процентах – задача на проценты (удивительно, да?). А если что-нибудь совсем другое, или всё в одном флаконе – это уже  остальные… Всего не предусмотришь, математика – она большая.

А зачем разделять задачи на какие-то группы? Решать, да и всё! Резонный вопрос. Отвечаю. Дело в том, что для каждой группы задач есть свой ключ к решению. Один для всей группы. Кроме задач, которые в группе  «Остальные…». Там могут потребоваться и все ключи сразу, а может и ничего не потребоваться.

Ключ – это  формула или понятие, которое нужно знать железно! Без него – никак. А с ним – всё просто. Зная формулу-ключ для группы, вы можете решать все задачи по математике из этой группы. Заманчиво, да?

Особенности решения и формулы-ключи для каждой группы задач рассмотрены подробно и с примерами  по указанным выше ссылкам. А здесь мы разберёмся, как решать задачи по математике любого типа.  Общие принципы, так сказать. Которые позволяют победить самую злую задачку.

 Технология решения у всех задач одна. Сначала определяем тип задачи. Это, как вы поняли, дело нехитрое. Вспоминаем формулу-ключ для этого типа задач. Записываем её на всякий случай.

Потом  начинаем соображать в нужную сторону. Нам что нужно? Составить уравнение!  Чтобы составить уравнение, нужно что-то взять за икс. Дальше, читая задачу, надо использовать этот икс, как известную величину. Делать с иксом все действия, которые описаны в задаче. В результате и получится уравнение.

Что брать за икс? На этом вопросе некоторые ученики задачу и завершают… А не надо. Возьмите за икс вопрос задачи!  Если вас спрашивают, сколько времени работал насос, запишите, что он работал х часов. Сколько километров прошёл турист? Да х километров! Сколько денег получит вкладчик? Вкладчик получит х рублей. И так далее.

Всегда ли это срабатывает? В простых задачах по математике – практически  всегда. Но головой думать всё равно приходится. Иногда вопрос простой, но за икс никак не берётся… Например, в задаче расписаны автомобиль, автобус и мотоцикл. Даны все соотношения, задачка несложная, но вопрос поставлен так: «Какой транспорт движется быстрее всех?»

И … что? Как этот вопрос за икс брать? Никак. Остаётся брать за икс что-нибудь конкретное, скорость автобуса, например, вычислять все скорости, а уж потом выдать окончательный ответ задачи.

Отсюда простой вывод: если зависли в выборе икса – берём за икс вопрос задачи. Обычно этого достаточно. Но если решение не идёт, делаем вторую попытку, берём за икс другую величину. Глядишь, всё и получится!

Итак, мы что-то взяли за икс. Правильно, неправильно, этого мы пока не знаем. Это мы узнаем в процессе построения математической модели задачи.

Что такое математическая модель?

Не пугайтесь этих страшных слов. Составление математической модели – это просто перевод условия задачи из текста в формулы.  Занятие, кстати, где-то даже увлекательное. Покажу на примере, как это делать. Итак, задача.

«Перед началом школьного года Таня купила всё необходимое для учёбы. Тетради, авторучки, карандаши и маленькую шоколадку. На авторучки она потратила на десять рублей меньше, чем на тетради, но на 30 рублей больше, чем на карандаши. Шоколадка обошлась Тане в 20 рублей. На все покупки Таня затратила 120 рублей. Сколько денег потратила Таня на авторучки?»

Крутая задача, правда?

Первым делом определяем тип задачи. Движения здесь нет, работы тоже, да и проценты, к счастью, отсутствуют. Значит, задача из группы «Остальные», формулы-ключи не требуются.

Вторым делом выбираем, что взять за икс. Долго мучаемся, потом машем рукой и пишем вопрос задачи:

Пусть х – стоимость  авторучек.

Начало есть! Теперь внимательно читаем задачу и выцарапываем из текста необходимую информацию. Первые два предложения математической информации не несут. А вот в третьем… Слова «На авторучки она потратила на десять рублей меньше, чем на тетради…» - уже можно в дело пустить. Напомню, что х мы считаем как бы известной величиной. Следовательно, можно сообразить, что на тетради Таня потратила сколько? Ну, на 10 рублей больше, чем на авторучки? Правильно!

х+10 – стоимость тетрадей.

Опять внимательно читаем задачу. И в том же третьем предложении натыкаемся на слова: «…но на 30 рублей больше, чем на карандаши.» Стоп! Это ценно. Можно записать стоимость карандашей. Ведь стоимость авторучек нам как бы известна. Это икс. А карандаши на 30 рублей дешевле. Стало быть, пишем:
х-30 – стоимость карандашей.

Так, математическая модель складывается помаленьку, читаем внимательно дальше. Шоколадка пока никак в математическую модель не вписывается. А вот предложение: «На все покупки Таня затратила 120 рублей» - сразу ставит всё на свои места! У нас всё записано! И тетрадки, и авторучки, и карандаши. Сложим всё и шоколадку не забываем:

х + (х+10) + (х-30) + 20 = 120

Всё! Уравнение составилось и записалось само собой.

Математическая модель задачи готова.

Если решить это суровое уравнение, получим х = 40

Это и есть ответ. 40 рублей потратила Таня на авторучки.

Что, элементарна задачка? А я и не спорю. Могу и усложнить. Вопрос по-другому задам. Пусть в той же задаче вопрос звучит так:

«На сколько рублей авторучки дороже шоколадки?»

Что, элементарно? На 20 рублей, конечно!

Да, но это элементарно, когда задача решена. Для авторучек.

А если не решена? Что брать за икс? Вопрос задачи? Не прокатит. По той причине, что этот икс – разницу в цене – никуда не пришьёшь. Ничего у нас не запишется, математическая модель не составится. Это как раз тот редкий (для простых задач) случай, когда вопрос задачи не годится в качестве икса. Как быть? Да взять за икс любую другую цену! Решить задачу для этого икса, а уж потом вычислить и ответ задачи!

Итак, если вы не знаете, как решать задачу по математике, с какого боку подойти и с чего начать, используйте

Практические советы:

1. Выясняем, к какой группе относится задача. Записываем, на всякий случай, соответствующие ключи.

2. Выбираем, что нужно взять за икс. Если никак не можем определиться, берём за икс вопрос задачи.

3. Расписываем словесное условие задачи в математическом виде. Через икс. Т.е. составляем математическую модель. Выжимаем всю информацию из задачи! Если ничего не записывается, никуда наш икс не встраивается – берём за икс другую величину, узнав которую, мы сможем легко вычислить ответ на вопрос задачи. Работаем с этим иксом. Не катит – берём за икс третью величину, работаем с ней. И так до победы.

4. Записываем уравнение. Если вы скачали всю информацию из задачи, уравнение составится само собой. Если не составляется, значит что-то из условия вы не использовали.

5. Решаем уравнение, находим ответ.

Практика по задачкам сказывается очень быстро. Несколько задач – и проблема выбора икса исчезнет. Ещё несколько задач – и проблем с составлением уравнения в простых задачах не будет.

Самое главное:

Пробуем, обязательно пробуем решать! С одним иксом, другим…

Это, кстати, относится ко всей математике. Кто пробует решать, прикидывает различные варианты, пусть даже и не совсем удачно – тот и рулит. Кто бросает, только прочитав задание, типа, не знаю как… Тому ничего не светит. Увы. Такова суровая жизнь.

Вот вам задачи для тренировки. В них не требуются ключи, или что-то особенное… Достаточно расписать условие, составить математическую модель, и… всё. Намекну, что где-то за икс хорошо вопрос задачи брать, а где-то нет.

«Миша решил удивить друга Колю. Он предложил ему задумать число. Тот задумал.
-Прибавь к числу 8! – велел Миша. Коля прибавил.
-Умножь результат на два! – велел Миша. Коля умножил.
-Прибавь ко всему этому пять и скажи мне, что получилось! – распорядился Миша.
-Триста двадцать один! – бодро отрапортовал Коля.
-Так много!? – опешил Миша, но взялся делать чудо! Всего через какой-то час он гордо изрёк: - Ты задумал число 120!
Коля действительно очень удивился. Он задумал не 120… Какое число задумал Коля?».

«Вася копил монетки. Пятирублёвые и десятирублёвые. Красивые и блестящие. После долгих дней жесточайшей экономии Вася накопил 22 монетки. Причём, к большому удовольствию Васи, десятирублёвых монеток было больше на 6 штук. Сколько всего денег (в рублях) накопил Вася?»

« В спортзал привезли гири и гантели. Общим весом 200 кг. Разгружать машину с гирями и гантелями пришлось Васе, Коле и Мише. Коля перенёс железа меньше, чем Вася на 40 кг. А Вася перенёс железа больше, чем Миша в 2,5 раза. Сколько кг железа перенёс Вася?»

Ответы (беспорядочно и без указания величин, конечно!): 180; 150; 100.

Задачи на движение, задачи на работу, задачи на проценты решаются аналогично. Просто для каждой группы имеется свой ключ. С этими ключами  вы сможете освоиться в соответствующих темах.

 

Предыдущая страница: Проценты в математике. Задачи на проценты.

Следующая страница: Решение задач на движение.

 

 

 

 

 

Если Вам нравится этот сайт...

 

Хотите потренироваться в решении примеров? Узнать свой уровень?
Тестирование с мгновенной проверкой, и не только...
Сайт для Вас - 321start.ru
Учимся - с интересом!)

 

2. С тебя и тройки хватит!


 

Содержание раздела


Как учить математику?
Дроби
Уравнения
Проценты в математике. Задачи на проценты
Как решать задачи по математике?
Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.
Разложение на множители. Примеры.
Формулы сокращённого умножения.
Степени и корни
Что такое логарифм?

 

 

 

 

 

 

Нарушение авторских прав влечёт за собой административную и уголовную ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.