Новости ЕГЭ

Отзывы о сайте

Опросы сайта

 

Подготовка к ЕГЭ по математике.

 

Содержание сайта


1. Что такое ЕГЭ и с чем его ЕДЯ...?

2. С тебя и тройки хватит!

3. ЕГЭ на 4? А не лопнешь от счастья?


4. ЕГЭ на 5 и выше? Не, нереально...


5. Раздел 555. Особый.


Написать автору

 


 

 

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    12.02.2011

Что такое логарифм?


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )

 

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм.

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

3x = 9

Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе степени. Если вы не в ладах с показательными уравнениями, или вообще про них ничего не слышали - не страшно. Просто подберите х, чтобы равенство сработало. Удалось? Ну да, х = 2. Три в квадрате - это девять.

А теперь решите почти то же самое:

3x = 8

Что, что-то не так? Ответ, что нету такого икса, не принимается!

Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….

Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Но так возиться каждый раз.... Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?

Вернёмся к нашему загадочному примеру:

3x = 8.

х - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если непонятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.

Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:

х = log38

Читаем ещё раз: "икс равен логарифму восьми по основанию три".

Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу. Основание у чего угодно - оно, обычно, внизу бывает.

И это правильный ответ!

Вот и всё.

Мы решили крутое показательное уравнение 3x = 8!

Ответ: х = log38 .

И, неожиданно для себя, научились решать все показательные уравнения такого типа!

Как решить пример:

5x = 12 ?

Легко! х - это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12. В математической записи:

х = log512

Ещё пример:

2x =135 ?

Элементарно!

х = log2135

И ещё:

19x = 0,352 ?

Не вопрос!

х = log190,352

Это все верные ответы!  Приятно, правда?

Представьте, мы в обыденной жизни спросили, например: "как доехать до вокзала?" И нам честно и правильно ответили: "На автобусе, который идёт до вокзала!" В жизни толку с такого ответа мало.

А в математике - пожалуйста!

На вопрос: чему равен х в уравнении

3x = 8 ?

Мы честно отвечаем: х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:

х = log38

Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Ну ладно, только для вас... Я покажу вам это конкретное число:

х = log38 = 1,892789260714.....

Легче стало? Учтите ещё, что это число никогда не кончается. Иррациональное оно...

Поэтому и записывают логарифмы вместо страшно лохматых чисел. Кому надо числовой ответ - посчитает на калькуляторе.

Так, что такое логарифм - осознали, и решать целый класс показательных уравнений - научились.

Но радость от новых знаний будет неполной без ложки дегтя. Если логарифм считается без калькулятора, его надо считать. Ответ, например, х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.

И чему же равен log24?

Переводим с математического на русский: log24 - это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?

Да! В двойку надо возвести! Вот и ответ:

log24 = 2

А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:

log327 = 3

Уловили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:

log381 =

log416 =

log55 =

log6216 =

Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.

Что, тяжело сообразить, в какой степени шестёрка даст 216? А я предупреждал, что здесь таблицу умножения знать надо! Более того, намекну, что таблицу умножения вообще знать надо... Не только здесь.

Ну что, смотрим на часы? Сильно я ошибся?


 

 

Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они не опасны. Но есть, есть у них свои фишки! Самая важная - это ограничения.

До сих пор мы знали два жёстких ограничения. Нельзя делить на ноль и извлекать корень чётной степени из отрицательного числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.

Запишем в общем виде, т.е. через буквы:

c = logab

или, что едино:

logab = c

Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

Прикинем, любым ли числом может быть а? Если, к примеру, а = 1? Забавно получится, единица в любой степени - единица. Как-то оно не очень... Как не меняй с, а а и b единичками останутся... Та же история и с нулём. Не годятся эти числа в качестве основания. Отрицательные числа - капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя... Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.

В результате получилось:

а > 0;   a ≠ 1

А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим... Да! Положительное число и получим. Отсюда:

b > 0.

Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.

При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но при решении логарифмических уравнений и неравенств - это настолько важно, что я здесь про ограничения сказал, в уравнениях скажу, и при любом удобном случае повторять буду!

Ещё не мешает знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм? В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е. Число е.

е = 2,71828182845.....

Иррациональное число. Сплошь и рядом попадается в высшей математике. Само попадается, его не придумали. Почему попадается - неизвестно...

Значки логарифмов по этим основаниям имеют своё написание.

log10b = lgb

Основание 10 не пишется, буква "о" пропадает. Такие логарифмы называются десятичными. И

logeb = lnb

Логарифмы по основанию "е" называются натуральными. Хотя чего уж там натурального....

Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!

 

Пора переходить к лаконичным математическим формулировкам. К свойствам логарифмов. Популярное выражение "Решение логарифмов" предполагает не только вычисления, но и преобразования. По определённым правилам, естественно.

Запишем знакомое нам выражение:

logab = c

Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:

ac = b

А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:

с = logаb

Подставим это в предыдущую формулу, и получим:

И зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!

Это первая формула свойств логарифмов. Её надо помнить! Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

Приведу ещё свойства, которые не требуют специальных выводов, а проистекают из определения логарифма и элементарной логики.

Чему равняется выражение:

logа1 = ?

В какую степень надо возвести а, чтобы получить 1? Неужто забыли? Нет? Ну, хорошо! Да, в нулевую! Вот и пишем:

logа1 = 0

Думаю, что следующее свойство уже не требует разъяснений:

logаа = 1

Оставшиеся свойства логарифмов выводить не будем, я их приведу сразу в комплекте. Этот комплект надо знать! Это основа для решения логарифмов.


 

Свойства логарифмов.

 

здесь х>0, y>0.


Такой вот джентльменский набор. Много? Да нет. Первые три - понятны. Остаётся всего пять запомнить. Но их надо знать железно. Причем слева направо и справа налево. Особо отмечу последнюю формулу. Это формула перехода к новому основанию логарифма. Ленятся ее, почему-то, запоминать. А в ЕГЭ, бывает, только она и спасает. Мы с ней дружить будем.

Обратите внимание - действия с логарифмами (формулы 4 и 5) возможны только при одинаковых основаниях! А если основания разные!? А вот тут нас как раз спасёт последняя формула.

Ещё отмечу, что эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных х и у. В числовых логарифмах так обычно и бывает. А вот в уравнениях придётся модули использовать. Но там мы разберёмся со всеми подводными камнями, не волнуйтесь!

Ну, ладно. Формулы хорошие, решать-то как? Открываю тайну. Все задания на упрощение выражений с логарифмами решаются применением этих хороших формул (во, Америку открыл!). Попробуем, что-нибудь простенькое?

log142 + log147 = ?

Оба логарифма ровно не считаются. Смотрим на формулы - свойства и выбираем подходящую. Это четвёртая формула, только справа налево. Подумаешь! Сообразим как-нибудь.

log142 + log147 = log14(2·7) = log1414 = 1

Как видите, свойства логарифмов позволили нам перейти от несчитаемого выражения к чудному числу 1. Собственно, это и есть общая идея решения логарифмов (да и идея математики вообще!) - использование правил, свойств для преобразования плохих выражений (я про математику!) в хорошие.

Надеюсь, всё понятно? Что, слишком элементарно? Ну ладно. Вот примеры чуток посложнее. Вычислить:

log9243 =

2log63+log64 =

log28+log48 =

Ответы (в беспорядке): 2; 2,5; 4,5; 3.

Решилось? Неплохо! А ещё?

Ответы: 1; 3; -2.

Тоже без проблем? Ну ладно. А вот это?

Вычислить:

Ответы: 1; 36; 1; 2; 0,5.

И это получилось? Блеск! Ну что ж, думаю, что решение логарифмов - не самое слабое Ваше место! Можете заглянуть в Раздел 555. Особый. Есть там примерчик для Вас, на десерт... На третьем уровне.

Что, не всё решается? Или ничего не решается? Не переживайте, это дело поправимое. Вам прямая дорога в Раздел 555. Особый. Там подробно рассказано, как свойства логарифмов в дело употреблять. И не только для этих примеров, а и для всех сразу! Даны практические советы, которых вы не найдёте в учебниках. Очень рекомендую!

Урок в тему: Логарифмические уравнения. От простого - к сложному.

 

 

 

 

Если Вам нравится этот сайт...

 

 

 

Хотите потренироваться в решении примеров? Узнать свой уровень?
Тестирование с мгновенной проверкой, и не только...
Cайт для Вас - 321start.ru
Учимся - с интересом!)

 

2. С тебя и тройки хватит!


 

Содержание раздела


Как учить математику?
Дроби
Уравнения
Проценты в математике. Задачи на проценты
Как решать задачи по математике?
Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.
Разложение на множители. Примеры.
Формулы сокращённого умножения.
Степени и корни
Что такое логарифм?

 

 

 

 

Нарушение авторских прав влечёт за собой административную и уголовную ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.