Формулы корней. Свойства квадратных корней. Продолжение.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )
Продолжаем развлечение? В предыдущих уроках мы осознали, что такое квадратный корень. И разобрались как умножать корни. Формулу умножения корней мы разобрали по винтикам. Очень уж она полезная в решении примеров! Осталось ещё две. Переходим к следующей формуле. Это будет деление корней.
Формула столь же проста, как и умножение. Вот она:

Напоминаю: здесь а - неотрицательное число (больше или равно нулю), b - положительное (больше нуля)! Иначе формула смысла не имеет... Об этих тонкостях мы ниже поговорим.
У формулы деления корней возможности не так обширны, как у умножения. Что можно делать прямо по формуле? Очевидно, делить корни.
Как делить корни?
Элементарно. Вот вам примерчик:

В этом примере деление корней помогло нам получить хороший ответ. Бывают более хитрые преобразования. Например:

Здесь мы превратили двойку в корень квадратный из четырёх. Исключительно для того, чтобы формулу деления корней в дело употребить. Как видите, ничего здесь сложного нет.
Рассмотрим формулу деления корней в обратном направлении. Справа налево. Вот так:

Какие возможности раскрывает нам такая запись? Ничего нового, думаете? Ошибаетесь! Забавно, но простая запись формулы в другом направлении частенько высвечивает дополнительные возможности!
В нашем случае такая формулировка деления корней здорово помогает извлекать корни из дробей! Например, пусть нам надо извлечь квадратный корень из дроби 25/144. Спокойно пишем себе:

Вот и все дела! От работы с дробью целиком, мы переходим к работе отдельно с числителем, отдельно со знаменателем. Что гораздо проще. А если дробь десятичная? Не вопрос! Если сразу корень не можете извлечь - переводите десятичную дробь в обыкновенную, и - вперёд! По формуле деления корней. Например:

Бывает ещё круче, когда корень из смешанного числа надо извлечь! Как поступаем? Правильно! Переводим смешанное число в неправильную дробь - и по знакомой формуле деления корней! К примеру, вот так:

Что, забыли, как переводить дроби? Срочно двигайте в тему "Дроби" и вспоминайте. А то ни дробь преобразовать, ни сократить её... И зачем вам тогда квадратные корни?
Надеюсь, что деление корней проблем не составляет. Простая и безобидная формула, простое употребление. Теперь в нашем арсенале уже две формулы. Умножение и деление корней. Табурет на двух ножках. Сидеть можно, но... некомфортно.)
Займёмся последним свойством квадратных корней. Здесь уже будут некоторые тонкости и подводные камни. Это свойство кратко называют корень из квадрата. Или корень в квадрате. Или корень из степени. Корень в степени. Всяко называют. Но суть одна. Это возведение в степень подкоренного выражения или самого корня.
Можно ли корень возвести в квадрат? А почему нет? Умножить корень сам на себя - да все дела! И не только в квадрат можно. В любую степень. А извлечь корень из квадрата? Да тоже не проблема! Мы же умеем корень из произведения извлекать. Так что можно извлечь корень не только из квадрата, но и из любой степени.
Но именно эти действия вызывают массу проблем... С этим надо разобраться основательно. Что мы сейчас и сделаем. Начнём с безобидного действия. С корня в квадрате.
Как возвести корень в квадрат?
Так как посчитать корень в квадрате? Очень просто. Прямо по смыслу корня. Что такое корень квадратный из двух, например? Это число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку. Так вот, если мы число, которое при возведении в квадрат должно дать двойку, возведём-таки в этот самый квадрат? Что получим? Двойку, конечно! Т.е. подкоренное выражение. Или, в общем виде:

Вот и всё! Никаких подводных камней, всё строго по формуле! Возведение в квадрат корня квадратного из любого выражения даст нам это самое выражение. Понятно, что а - число неотрицательное. Иначе формула смысла не имеет.
А если корень не в квадрате, а в другой степени? Не вопрос! Если, конечно, знаете действия со степенями... По правилам этих действий сами приведём исходное выражение к корням в квадрате и всё посчитаем. Например, вот так (расписываю подробно):

Как видим, корень исчезает, Степень результата в два раза меньше исходной степени.
Если степень нечётная - разложим исходное выражение на множители, и все дела:

Так поступаем с любой степенью корня из любого выражения, и всё у нас посчитается, упростится и получится. Корень в квадрате - штука бесхитростная. Разберёмся теперь с корнем из квадрата.
Как извлечь корень из квадрата?
Пусть у нас есть хорошее число 2. Возведём его в квадрат.
22 = 4
Кто бы спорил? А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень:

Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать:

Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией - извлечением квадратного корня. В общем виде формула выглядит вот так:

Стоп! Внимание! Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: "где а - больше, либо равно нулю". В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а - неотрицательное. Для простоты. А вот как встретите на этой странице мрачного зайца - вот там и начнётся настоящая работа!
Продолжаем. Корень из квадрата извлекается просто. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Допустим, в четвёртой? Да нет проблем. Приведём нашу степень к квадрату. Вот так:
24=(22)2
Для таких преобразований надо опять-таки знать действия со степенями, но тут уж ничего не поделаешь...
Теперь по формуле корня из квадрата:

Вот и всё. Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной. Корень из 310 ? Легко! Это будет 35. Корень из 518 ? Запросто! Это будет 59. Ну, и так далее.
А если степень нечётная? Подумаешь! Раскладываем подкоренное выражение на множители - и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Например:

Всё просто. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто... Вернём эту простоту и ясное понимание.
Вот тут и будет мрачный заяц. Для лучшего запоминания.) Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак!)

Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?
Пунктик первый. Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки:

Здесь всё понятно и просто.
А теперь попробуем вычислить:

Берём, и просто считаем, безо всяких формул:
(-2)2 = 4
Извлекаем корень из четырёх и получаем 2. Так как арифметический квадратный корень (а в школе мы работаем только с такими!) - всегда число неотрицательное! То есть:

А если бы мы использовали формулу:

получили бы не два, а минус два! Что является ошибкой.
Не работает эта формула для отрицательных значений.
Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так:

Это и есть последнее, третье свойство корней. Корень из квадрата. Третья ножка для табурета.)
Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Модуль. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь. Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный. Формула стала полноценной. Модуль просто отсекает минусы:

Пунктик второй. Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение:

где х<0.
Казалось бы, ответ прост. Получится просто х. Но зачем тогда дополнительная информация?! Приходится соображать. Если х<0, это отрицательное число. Минус два, или минус тридцать, там... Но корень квадратный отрицательным быть не может! Это будет точно х, но он должен быть с плюсом! Где взять плюс? А мы его сделаем! Если перед заведомо отрицательным числом, поставить минус, это число станет, число станет... положительным! И верное решение выглядит так.

Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями. В отличие от более простых разделов математики, здесь правильный ответ частенько не вытекает автоматически из формул. Необходимо подумать и лично принять верное решение.)
И как справляться со всем разнообразием заданий с корнями? А есть ещё иррациональные уравнения и неравенства, где эти пунктики играют главную роль...
Спокойно! Вникайте и запоминайте.
Главный практический совет по работе с квадратными корнями.
В любом задании с квадратными корнями лично контролируйте знаки подкоренного выражения и результата извлечения корня.
Прикидывайте, и оценивайте ситуацию, исходя из внешнего вида примера и всех дополнительных условий задания. Если под знаком корня - минус, дальше можно не решать. Выражение не имеет смысла. Что нам делать нечего, бессмысленные выражения решать?!
Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус - сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями.
Ну вот, основные тонкости корней мы разобрали. Теперь об одной ошибке, рассказать про которую я обещал в предыдущем уроке. Эта ошибка ничего общего с тонкостями не имеет! Это абсолютно тупой косяк, о котором и говорить-то неловко. Но надо. Слишком часто он встречается...
Обратите внимание! Все свойства корней связаны с умножением-делением. И ни одного - со сложением-вычитанием! На сложение-вычитание корней - не существует специальных формул!
Однако народ складывает... И не самый трудный народ... Поэтому громко напоминаю:

или:

Хотя одинаковые корни можно, конечно, складывать-вычитать. Как приводить подобные с буквами. Например:

или:

Но эти действия к специфическим свойствам корней не имеют никакого отношения.
А теперь попрактикуемся в корнях. От примитивных заданий до продвинутых. Все ответы даны в беспорядке.
Вычислить:



Ответы: 1, 9, 2.
Не получается? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ этого урока.
Примитив? Тогда решаем дальше.
Упростить:



Ответы: 3а4 b, -4а4 b5 , 3а.
Не выходит? Смотрим ЗАКЛЮЧЕНИЕ урока.
Получилось? Неплохо. А как вам эти примерчики?
Вычислить (все буквы - неотрицательные):






Ответы (в беспорядке): выражение не имеет смысла; 5; 4; 1; -3; 0,5
Всё нормально!? Отлично. Корни - не ваша проблема.
Не всё понятно? Не беда. Читаем дальше.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Не получаются даже простые примеры? Или не очень простые? Хотелось бы увидеть решение всех примеров с подробными и понятными объяснениями? Нет проблем! Идём в Особый раздел 555. Квадратные корни. Там даны все разъяснения. Которые, между прочим, годятся не только для решения этих примеров...
Это и будет последняя, четвёртая ножка для табурета.) Которая не даст свалиться и при серьёзных заданиях.
Особо ценная информация Раздела 555 помогает даже в самых запущенных случаях!) Когда не получается - и всё тут! Не говоря уж об отдельных неясностях. В этом разделе вы познакомитесь с практической работой с корнями.
И всё получится.
Предыдущая страница: Квадратные корни. Формулы корней. Свойства корней. Как умножать корни?
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
|