Oтзывы о сайте Oпросы сайта   Hовости ЕГЭ  

 

Содержание сайта
Раздел 1.
Про ЕГЭ.





 

Раздел 2.
ЕГЭ на 3.










 

Раздел 3.
ЕГЭ на 4.







 

Раздел 4.
ЕГЭ на 5.


 

Раздел 5.
Решаем
задания ЕГЭ.


 

Раздел 555.
Особый.


 

 

Написать автору: egesdam@ya.ru

 

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    14.08.2012

 

Таблица синусов и косинусов.


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )

 

Продолжаем осваивать таблицу синусов и косинусов. А именно - привыкаем работать с необходимыми табличными значениями без механической зубрёжки. И, разумеется, без бумажек-шпаргалок. Это несложно. Если голову включить. Голова нужна не только шапку носить, да...)

Итак, в предыдущем уроке мы разбили углы, про которые нужно знать всё, на три группы. Первая группа - углы, попадающие точно на оси координат. Вторая группа - всего три угла: 30°, 45°, 60°. Значения таблицы синусов и косинусов для этих трёх углов приходится-таки вызубрить. Аж все три значения!)

Осталась последняя, третья группа углов.

 

Третья группа углов.

Вот эти девять углов:

120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°.

Надо железно знать таблицу синусов и косинусов для этих углов. Вот как выглядят эти углы в радианах:

Для пущего устрашения я добавлю, что это углы, которые лежат в пределах всего лишь одного оборота. Т.е в пределах 360°. А надо знать значения таблицы синусов и косинусов и за этими пределами... Скажем, синус 855°, или косинус 21пи/4 вы знать обязаны.

Что, меркнут краски жизни!?)

Спокойствие! Нас спасут житейская смекалка и тригонометрический круг! Я же предупреждал, что с помощью круга все эти несусветные проблемы (и не только эти!) можно решить за пару минут. Слегка скучая.)

В конце предыдущего урока я задавал вопрос: чего особенного в этих девяти углах? Кто сообразил, тот справится. Кто не сообразил, тот прямо сейчас узнает тайну этих углов и тоже справится! Внимайте!

Дело в том, что все эти углы составлены из углов предыдущих двух групп. Например:

120° = 90° + 30°

225° = 180° + 45°

300° = 270° + 30°

Ну, вы поняли...)

Кстати, можно использовать не сумму, а разность, например:

300° = 360° - 60°

135° = 180° - 45°

И так далее.

Другими словами, каждый угол из этой группы есть сумма (разность) одного угла из первой группы (те, что попадают на оси координат) и одного угла из второй группы (30, 45, 60). Нет, можно конечно разбить углы на сумму/разность каких попало, но оно нам совсем не надо.) Надо: один угол - из первой группы и один из второй.

И как же мы будем использовать этот замечательный факт? Просто складывать-вычитать синусы? Разочарую... Синус суммы углов вовсе не равен сумме синусов каждого угла! Запомните это накрепко! Для суммы есть своя длинная формула. Но такое особое устройство углов позволит нам находить их синусы-косинусы одной левой.) Без таблицы синусов и косинусов.

Здесь нет никакой особой теории. Чистая практика! Поэтому показываю на примерах.

Итак, пусть нам надо найти косинус 150 градусов. Подозреваю, что далеко не каждый сразу и уверенно вспомнит это значение таблицы синусов и косинусов. Ох, не каждый...) А если и вспомнит, сомнения будут грызть. Посему работаем надёжно!

Прежде всего соображаем, из каких особых углов он состоит. Рекомендую в качестве угла из первой группы выбирать 180° или 360° Далее поймёте, почему. Легко сообразить, что:

150° = 180° - 30°

Отлично! Разложился угол классически. Один - из первой группы, другой - из второй. Теперь нарисуем угол 150° на тригонометрическом круге. На глаз нарисуем, примерно. Но рисовать будем, глядя на разложение:

150° = 180° - 30°

Говоря житейским языком, мы крутим подвижную сторону угла (где точка А) на 180° в плюс (по часовой стрелке), затем отматываем угол на 30° обратно!) Надеюсь, вы уже знаете, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге? Без этих знаний - никак...

Получаем вот такую картинку:

 

 

Зелёным цветом обозначен нужный нам угол в 150° и его косинус. А вот красным цветом я обозначил вспомогательный угол в 30°, который нас и спасёт в этой крутой задаче.) Ведь мы знаем (ну, или должны знать...) косинус 30 градусов из таблицы синусов и косинусов. Правда эти красненькие 30° как бы не совсем правильные 30°, не от той полуоси отсчитаны....

Ну и ладно. Давайте нарисуем правильные 30° на этом же круге. Отсчитанные от положительной полуоси Х. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим правильный синий угол в 30° и его косинус.

Ну и...? Как вам кажется, в каком соотношении находятся cos30° и cos150°? Догадаетесь!?

Да! Косинус 150 градусов равен по величине косинусу 30, но имеет отрицательный знак! Треугольнички слева-справа одинаковые, косинусы равны по величине. Вот и всё. Просто мы на тригонометрическом круге просчитали непонятный косинус 150 градусов через известный косинус 30. Не заглядывая в таблицу синусов и косинусов. Так можно делать всегда.

Ответ:

cos150° = - cos30° = -

А если нужен синус 150 градусов? Нет проблем! Опять рисуем круг, угол в 150 градусов (как 180° - 30°). На этот раз отмечаем его синус на оси У. Вот так:

 

 

Опять рисуем правильный угол в 30 градусов и отмечаем его синус. Наведите курсор на картинку, чтобы увидеть это сложное построение.) Что мы видим? Мы видим, что синусы углов 150° и 30° равны! Треугольнички-то одинаковые. Пусть даже и углы по 30° находятся вне треугольников. Всё равно, треугольнички - одинаковые.

Ответ:

sin150° = sin30° =

Улавливаете суть? Любой угол третьей группы всегда разбивается на сумму/разность угла 180° (или 360°) и угла 30, 45, 60 (какой уж подойдёт). Стало быть, на тригонометрическом круге мы всегда получим вспомогательный угол 30, 45 или 60 градусов. Без разницы, в какой четверти получится этот вспомогательный угол. Достаточно нарисовать правильный угол (в первой четверти), найти одинаковые треугольнички и сравнить по картинке их синусы-косинусы. Тут ошибиться очень трудно!

И не надо зазубривать таблицу синусов и косинусов для этих девяти углов.

Вот и всё. Есть тут, правда одна проблемка. Ленятся люди рисовать круг. Стесняются, что плохо получится, что ли!? Тригонометрический круг - легальная шпаргалка - нужен вам, а не проверяющим! Здесь не требуются линейка, циркуль, транспортир и прочие цветные карандаши. Не черчение, чай...

Так и быть, я личным примером покажу, как выглядит все это рисование в реале!

Пусть мне надо определить cos240°. Без таблицы синусов и косинусов. За пять секунд я соображаю, что:

240° = 180° + 60°

Ещё за десять секунд я рисую мощную картину:

М-да... Ужас какой-то. Ну и что!? Зато я чётко вижу, где располагается мой вспомогательный угол в 60° (третья четверть). Я знаю, что треугольнички, образованные вспомогательным углом в 60° и правильным углом в 60° (в первой четверти) - одинаковые. Пусть даже на картинке они, гм... не очень равны.) И по этой картинке я стопроцентно понимаю, что косинус 240 градусов равен косинусу 60, но со знаком "минус". Так как cos240° попадает на отрицательную полуось Х. Посему из этой кошмарной картины я надёжно вывожу (за 20 секунд!) правильный ответ. Безо всякой таблицы синусов и косинусов:

cos240° = - cos60° = - 1/2

Что мне и надо.)

Тем, кто проникся уважением к тригонометрическому кругу, предлагаю загадку. Как вы думаете, какую функцию и какого положительного угла я искал вот по этому наскальному рисунку?)

Если поняли, вам можно начинать изучать иероглифы.) Ответ будет чуть ниже.

 

Итак, осталось всего ничего. Разобраться с углами, которые больше 360°. Если они приводятся к углам второй группы (30, 45, 60), значения таблицы синусов и косинусов для них тоже знать необходимо. Ну, не совсем знать - таких углов бесконечное множество - но уметь их вычислять.

Здесь всё просто. Опять сплошная практика. Берём пример из начала урока. Пусть нам надо определить sin855°. Понятно, что в этом угле сидит несколько полных оборотов по 360° и ещё какой-то хвостик. Вот и выбросим эти полные обороты. Они никак не сказываются на тригонометрических функциях угла! Только картину путают...

Еслиу нас на круге есть угол, скажем, в 45°, то прибавьте к нему хоть пять полных оборотов, хоть тридцать пять - положение его не изменится. Не поменяются значения синусов, косинусов и т.д.

Определить количество полных оборотов очень просто. Надо разделить величину угла (в нашем случае - 855°) на 360°. Хоть в уме, хоть уголком. Радует то, что до конца делить не надо! Нам же количество целых оборотов надо знать, а не дробных.

Вот и делим. Получаем два с копейками. Копейки нас не интересуют, их даже и считать не нужно. А два полных оборота - это 2 · 360° = 720°. Считаем хвостик. Отнимаем:

855 - 720 = 135

Хвостик получился 135°. А это классический угол третьей группы! Так как:

135° = 180° - 45°

С этим углом разбираемся, как написано выше. С помощью круга. Вот и все дела. Так нужно поступать всегда. Откинуть от большого значения угла все полные обороты и работать с оставшимся хвостиком. Кстати, если этот хвостик не попадает ни в какую группу (20°, например, или 160°) - значит, где-то ошибка. Или задание - более сложное и рассчитано на какие-то дополнительные преобразования. Синус 20° вы знать не обязаны.

 

Вернёмся к наскальному рисунку.) Дойти до правильного ответа можно по такой цепочке:

1. Пунктир идёт на ось У. Значит, автора интересует синус угла!

2. Угол в первой четверти отпадает. Это явно угол из таблицы синусов и косинусов, автор его и так знает. Может быть...) Да и зачем тогда отмечен угол в четвёртой четверти!? Значит, автора интересует синус некоего угла из четвёртой четверти!

3. Отмеченные дужками углы, очевидно, должны быть равны... Угол в первой четверти всяко меньше 60°... Да и меньше 45°! Стало быть, это 30 градусов!

4. Угол в четвёртой четверти... Возможны 2 варианта... -30° и 330°. Но автора интересует положительный угол... Всё!!! На наскальном рисунке изображена попытка найти sin330°! Возможно, автор даже и определил его.)

sin330° = -0,5

 

Пора применить знания на практике. Потренироваться. Намекаю, что таблицу синусов и косинусов можно использовать только для проверки! Тонко так намекаю...) Предупреждаю, что никаких особых формул и тригонометрических преобразований здесь не требуется. Просто определяем значения и подставляем в пример. Чтобы горе от ума не получилось...)

 

Вычислить:

cos0° + sin90° - cos180° - sin270° =

sin135° · cos315° =

sin240° · cos330° =

cos(-120°) · sin(-330°) =

sin(-2430°) + cos(-1380°) =

 

Ответы (в беспорядке): 1,5; -0,25; 4; -0,75; 0,5

Получается? Отлично! Не получается? Путаница с отрицательными значениями? Бывает... Ничего страшного. Самое главное - правильно нарисовать (отсчитать) угол на круге. А там уже всё видно. Здесь вам поможет урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах.

Самые азы, конечно, но куда без них?)

Усложним задачу. Работаем по-взрослому. С радианами. Именно эта мера угла является основной в солидной математике.

 

Вычислить:

 

Ответы (в беспорядке): 0,5; 1,5; -2; -0,5; 0,25.

Что, с радианами сложнее, да? В градусы переводить, потом лишние обороты отбрасывать... Да, хлопотное занятие! Кстати, в этом уроке мы только с градусами работали, если кто заметил...) Это специально.

Только для тех, кто добрался до этих строк!)

Дело в том, что есть очень простой практический приём работы с радианами. Да такой приём, что работа с радианами становится проще, много проще работы с градусами! Поэтому я и не расписывал здесь примеры с радианами и переводом их в градусы. Лишнее это. Гораздо проще и надёжнее работать с радианами напрямую.

Этот практический приём описан в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах.

 

 

Подытожим тему. В этом уроке кто хотел, тот научился лихо крутить по кругу углы, откидывать полные обороты и легко определять необходимые значения таблицы синусов и косинусов без этой самой таблицы. Это солидный багаж для контрольных и экзаменов.

Но самое главное в этом уроке - тренировка в работе с тригонометрическим кругом. Определять значения таблицы синусов и косинусов можно и без круга. По формулам приведения, о которых мы ещё поговорим. Но любая формула тригонометрии применима в своей узкой области. А круг помогает во всей тригонометрии. Скажем, тригонометрические неравенства (а это задания уровня С!) решаются на 90% через круг, а оставшиеся 10% - с помощью круга. Круг лишним не бывает!) Освойте его, и тригонометрия будет дружить с вами.

 

Предыдущая страница: Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.

 

Следующая страница: Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

 

 

 

 

Если Вам нравится этот сайт...

 

 

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Яндекс.Метрика