Oтзывы о сайте Oпросы сайта   Hовости ЕГЭ  

 

Содержание сайта
Раздел 1.
Про ЕГЭ.





 

Раздел 2.
ЕГЭ на 3.










 

Раздел 3.
ЕГЭ на 4.







 

Раздел 4.
ЕГЭ на 5.


 

Раздел 5.
Решаем
задания ЕГЭ.


 

Раздел 555.
Особый.


 

 

Написать автору: egesdam@ya.ru

 

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    14.02.2015
Редакция 14.02.2016

 

Формула n-го члена арифметической прогрессии.


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )

Оч-ч-чень полезная формула! Позволяет быстро и легко решать самые разнообразные задания по арифметической прогрессии. Имеет смысл освоить, правда?) Вот она, эта формула:

an = a1 + (n-1)d

В чём главная суть формулы?

Эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n".

Разумеется, надо знать ещё первый член a1 и разность прогрессии d, ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.

Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)

Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.

Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:

a1,  a2,  a3,  a4,  a5, .....

a1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a3 - третий член, a4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a5, если сто двадцатый - с a120.

А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:

an

Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.

И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...

Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение an, мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.

В формуле n-го члена арифметической прогрессии:

an = a1 + (n-1)d

a1 - первый член арифметической прогрессии;

d - разность прогресии;

n - номер члена.

Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: an; a1; d и n. Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.

 

Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:

an = 5 + (n-1)·2.

Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a1=5, а d=2.

А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: an = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:

an = 3 + 2n.

Это тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.

 

В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - an+1. Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за an пятый член, то an+1 будет шестым членом. И тому подобное.

Чаще всего обозначение an+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:

an+1= an+3

a1=5

Можно запросто посчитать второй член a2. Если an - это a1, то an+1 будет, как раз, a1+1= a2. Считаем по формуле:

a2= a+ 3 = 5+3 = 8

Посчитать третий член можно через второй:

a3= a2 + 3 = 8+3 = 11

Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.

В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a1, записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.

 

 

Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:

Дана арифметическая прогрессия (an). Найти a121, если a1=3, а d=1/6.

Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)

А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.

В условиях приведены все данные для использования формулы: a1=3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a121. Вот и пишем:

a121 =

Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:

a121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23

Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.

Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n".

 

Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:

Найдите первый член арифметической прогрессии (an), если a17=-2; d=-0,5.

Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:

an = a1 + (n-1)d

А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...

У нас ещё имеется номер n! В условии a17=-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)

Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:

a17 = a1 + (17-1)·(-0,5)

Ах да, a17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:

-2 = a1 + (17-1)·(-0,5)

Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a1= 6.

Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...

 

Ещё одна популярная задачка:

Найдите разность арифметической прогрессии (an), если a1=2; a15=12.

Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)

an = a1 + (n-1)d

Соображаем, что нам известно: a1=2; a15=12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:

12=2 + (15-1)d

Считаем арифметику.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Это правильный ответ.

 

Так, задачи на an, a1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:

 

Число 99 является членом арифметической прогрессии (an), где a1=12; d=3. Найти номер этого члена.

Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:

an = 12 + (n-1)·3

На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: an и n. Но an - это какой-то член прогрессии с номером n... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:

99 = 12 + (n-1)·3

Выражаем из формулы n, считаем. Получим ответ: n=30.

 

А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):

Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (an):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a1=-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)

Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n. И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:

117 = -3,6 + (n-1)·1,2

Опять выражаем из формулы n, считаем и получаем:

n=101,5

Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.

 

Задача на основе реального варианта ГИА:

Арифметическая прогрессия задана условием:

an = -4 + 6,8n

Найти первый и десятый члены прогрессии.

Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.

Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)

Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:

a1 = -4 + 6,8·1 = 2,8

Вот! Первый член 2,8, а не -4!

Аналогично ищем десятый член:

a10 = -4 + 6,8·10 = 64

Вот и все дела.

 

А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)

Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?

Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.

Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:

Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй член равняется первый член плюс одно d:

a2=a1+1·d

Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d.

a3=a1+2·d

Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).

Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d.

a4=a1+3·d

Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d, всегда на один меньше, чем номер искомого члена n. Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):

an = a1 + (n-1)d

Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...

 

Задания для самостоятельного решения.

Для разминки:

1. В арифметической прогрессии (an) a2=3; a5=5,1. Найти a3.

Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)

 

А это - уже не разминка.)

2. В арифметической прогрессии (an) a85=19,1; a236=49, 3. Найти a3.

Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...

 

3. Арифметическая прогрессия задана условием: a1 =-5,5; an+1= an+0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.

В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!

 

4. Дана арифметическая прогрессия (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.

Без формулы пришлось бы считать, да считать... Но формула здорово сокращает время решения и уменьшает количество ошибок. Ну и элемент фантазии должен помочь.)

 

5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.

 

6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно  -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a14.

Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.

 

Ответы (в беспорядке):

3,7;  3,5;  2,2;  37;  2,7;  56,5

 

Получилось? Это приятно!)

Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.

Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.

 

<<< Предыдущая страница: Арифметическая прогрессия. Разность арифметической прогрессии.

Следующая страница: Сумма арифметической прогрессии. >>>

 

 

 

 

Если Вам нравится этот сайт...

 

 

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

 

 

 

 

 

 

 

 

Яндекс.Метрика