ОБОЙДИ  УЖЕ  ЭТИ  ГРАБЛИ! :-)

• Hовое на сайте
  
  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Решение задач на формулу n-го члена.
    

  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Основа для решения заданий.
    

  • 
    В разделе 555:
    Разбираемся с арками. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях.
    

  • 
    В разделе 2:
    Что такое математическая модель? Составление математической модели.
    

  • 
    В разделе 555:
    Как решать дробные уравнения?
    

• Как проходит ЕГЭ?
  >
  • Перед экзаменом.
     
  • Во время экзамена.
     
  • По окончании экзамена.

• Что будет на ЕГЭ по математике?
  >
  • Базовый и профильный уровни.
     
  • Как работать на ЕГЭ?

• Система оценок в ЕГЭ

• Как готовиться к ЕГЭ?

• Как учить математику?

• Дроби
  >
  • Виды дробей. Преобразования.
     
  • Сложение и вычитание дробей.
     
  • Умножение и деление дробей.

• Уравнения
  >
  • Как решать уравнения? Тождественные преобразования.
     
  • Линейные уравнения.
     
  • Квадратные уравнения. Дискриминант.
     
  • Дробные уравнения. ОДЗ.

• Решение задач по математике
  >
  • Как решать задачи по математике?
     
  • Что такое математическая модель? Составление математической модели.
     
  • Задачи на движение.
     
  • Задачи на работу.

• Проценты. Задачи на проценты

• Числовые и алгебраические выражения. Преобразования выражений
  >
  • Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования.
     
  • Разложение на множители.
     
  • Формулы сокращённого умножения.

• Квадратные корни
  >
  • Что такое квадратный корень?
     
  • Свойства (формулы) корней. Как умножать корни?
     
  • Как делить корни? Корень из квадрата. Корень в квадрате.

• Арифметическая прогрессия
  >
  • Понятие арифметической прогрессии. Разность прогрессии.
     
  • Формула n-го члена арифметической прогрессии.
     
  • Сумма арифметической прогрессии.

• Логарифмы. Основы

• Тригонометрия. Основные понятия
  >
  • Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
     
  • Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность.
     
  • Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
     
  • Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
     
  • Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.
     
  • Как не забыть таблицу синусов и косинусов.
     
  • Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

• Тригонометрия. Решение уравнений
  >
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью круга.
     
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

• Неравенства
  >
  • Линейные неравенства. Решение, примеры.
     
  • Квадратные неравенства. Решение, примеры.

• Показательные уравнения

• Логарифмические уравнения
  >
  • Простейшие логарифмические уравнения
     
  • ОДЗ в логарифмических уравнениях

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа, как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Или:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения.

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями. Здесь обнаружатся новые грабли, да...

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

Вычислить:

Ответы (в беспорядке):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление дробей - в следующем уроке. Там же и задания на все действия с дробями.

Предыдущая страница: Дроби. Виды дробей. Преобразования.

Следующая страница: Дроби. Действия с дробями. Умножение и деление дробей.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.