Oтзывы о сайте Oпросы сайта   Hовости ЕГЭ  

 

Содержание сайта
Раздел 1.
Про ЕГЭ.





 

Раздел 2.
ЕГЭ на 3.










 

Раздел 3.
ЕГЭ на 4.







 

Раздел 4.
ЕГЭ на 5.


 

Раздел 5.
Решаем
задания ЕГЭ.


 

Раздел 555.
Особый.


 

 

Написать автору: egesdam@ya.ru

 

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    27.07.2013

 

Решение тригонометрических уравнений.

 

Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Здесь:

х - угол, который нужно найти,
а - любое число.

А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.

Для синуса:

х = (-1)narcsin a + πn,    n ∈ Z


Для косинуса:

х = ± arccos a + 2πn,    n ∈ Z


Для тангенса:

х = arctg a + πn,    n ∈ Z


Для котангенса:

х = arcctg a + πn,    n ∈ Z

 

Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?

Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло...) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)

Разберёмся?

Сначала вспомните, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Если у вас в памяти всплывают загадочные мантры насчёт "обратных тригонометрических функций", значит вы НЕ понимаете смысла этих терминов. Сходите по ссылке и убедитесь, что всё много проще, чем вам кажется.)

Остаётся определиться с буковками: πn, 2πn, n∈ Z.

Что они означают, и зачем всё это надо - просто и подробно расписано в предыдущем уроке. Там же, кстати, можно освоить способ решения простейших тригонометрических уравнений безо всяких формул. Этот способ спасает при решении заданий раздела "С", с неравенствами, отбором корней и прочими штучками. Там, где механическое применение общих формул не катит. Так что, если претендуете на 4, прогуляйтесь по ссылкам, не ленитесь.)

Формулы здорово экономят силы и время. Если вы понимаете, что они означают, и как их применять, разумеется. А то можно так наэкономить...

 

 

Решаем простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул.

Если вы не поленилсь и осилили предыдущий урок - решение уравнений по тригонометрическому кругу - я вас обрадую.) Решение по формулам будет вам понятно за пять минут. Можете засекать время.)

Итак, начнём с косинуса, он попроще будет. Вспомним решение тригонометрического уравнения cosx = 2/3 из предыдущего урока.

Там у нас в ответе получились две серии корней:

х1 = arccos 2/3 + 2πn,    n ∈ Z

х2 = - arccos 2/3 + 2πn,    n ∈ Z

Нам ничего не мешает записать эти две серии одной строчкой:

х= ± arccos 2/3 + 2πn,    n  ∈ Z

И всё! Это выражение - просто сокращённая запись ответа через плюс/минус.

Теперь рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение с косинусом в общем виде:

cosx = а

Нарисуем на круге углы с косинусом, равным а. Вот так:

Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.

И так будет получаться всегда. При любом а.

Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.

Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:

х1 = arccos a + 2πn,    n ∈ Z

х2 = - arccos a + 2πn,    n ∈ Z

Объединяем эти две серии в одну:

х= ± arccos а + 2πn,    n ∈ Z

И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.

Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.

В простейшем тригонометрическом уравнении

sinx = а

тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:

х = (-1)narcsin a + πn,    n ∈ Z

Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!

Проверим математиков? А то мало ли...)

В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:

sinx = 0,5

В ответе получились две серии корней:

х1 = π/6 + 2πn,    n ∈ Z

х2 = 5π/6 + 2πn,    n ∈ Z

Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:

х = (-1)narcsin 0,5 + πn,    n ∈ Z

Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π/6. Полноценный ответ будет:

х = (-1)nπ/6 + πn,    n ∈ Z

Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х1; х2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)

Подставляем в ответ с х1 значения n=0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:

х1 = π/6;  13π/6;  25π/6  и так далее.

При такой же подстановке в ответ с х2, получаем:

х2 = 5π/6;  17π/6;  29π/6 и так далее.

А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х. Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.

Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)

Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.

Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1)n в решение для синуса.

Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.

И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)

Можно подвести итоги.

Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:


sinx = 0,3

Легко: х = (-1)narcsin 0,3 + πn,    n ∈ Z


cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2πn,    n ∈ Z


tgx = 1,2

Запросто: х = arctg 1,2 + πn,    n ∈ Z


ctgx = 3,7

Одной левой: x= arcctg3,7 + πn,    n ∈ Z

И так далее. Очень удобно. Разумеется, думать никто не отменял.) Даже при использовании готовых формул. Скажем, вам надо решить вот такое уравнение:

cos x = 1,8

Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:

х= ± arccos 1,8 + 2πn,    n ∈ Z

то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.

А если уж вам попалось неравенство, типа

cos x <  0,4

то ответ в виде:

х < ± arccos 0,4 + 2πn,    n ∈ Z

есть редкая ахинея, да...) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.

Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)

 

Бонус:

При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2πn. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово - два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там - два.

Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ±, доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)

 

Предыдущая страница: Тригонометрические уравнения.

 

 

 

 

Если Вам нравится этот сайт...

 

 

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Яндекс.Метрика