ОБОЙДИ  УЖЕ  ЭТИ  ГРАБЛИ! :-)

• Hовое на сайте
  
  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Решение задач на формулу n-го члена.
    

  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Основа для решения заданий.
    

  • 
    В разделе 555:
    Разбираемся с арками. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях.
    

  • 
    В разделе 2:
    Что такое математическая модель? Составление математической модели.
    

  • 
    В разделе 555:
    Как решать дробные уравнения?
    

• Как проходит ЕГЭ?
  >
  • Перед экзаменом.
     
  • Во время экзамена.
     
  • По окончании экзамена.

• Что будет на ЕГЭ по математике?
  >
  • Базовый и профильный уровни.
     
  • Как работать на ЕГЭ?

• Система оценок в ЕГЭ

• Как готовиться к ЕГЭ?

• Как учить математику?

• Дроби
  >
  • Виды дробей. Преобразования.
     
  • Сложение и вычитание дробей.
     
  • Умножение и деление дробей.

• Уравнения
  >
  • Как решать уравнения? Тождественные преобразования.
     
  • Линейные уравнения.
     
  • Квадратные уравнения. Дискриминант.
     
  • Дробные уравнения. ОДЗ.

• Решение задач по математике
  >
  • Как решать задачи по математике?
     
  • Что такое математическая модель? Составление математической модели.
     
  • Задачи на движение.
     
  • Задачи на работу.

• Проценты. Задачи на проценты

• Числовые и алгебраические выражения. Преобразования выражений
  >
  • Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования.
     
  • Разложение на множители.
     
  • Формулы сокращённого умножения.

• Квадратные корни
  >
  • Что такое квадратный корень?
     
  • Свойства (формулы) корней. Как умножать корни?
     
  • Как делить корни? Корень из квадрата. Корень в квадрате.

• Арифметическая прогрессия
  >
  • Понятие арифметической прогрессии. Разность прогрессии.
     
  • Формула n-го члена арифметической прогрессии.
     
  • Сумма арифметической прогрессии.

• Логарифмы. Основы

• Тригонометрия. Основные понятия
  >
  • Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
     
  • Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность.
     
  • Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
     
  • Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
     
  • Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.
     
  • Как не забыть таблицу синусов и косинусов.
     
  • Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

• Тригонометрия. Решение уравнений
  >
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью круга.
     
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

• Неравенства
  >
  • Линейные неравенства. Решение, примеры.
     
  • Квадратные неравенства. Решение, примеры.

• Показательные уравнения

• Логарифмические уравнения
  >
  • Простейшие логарифмические уравнения
     
  • ОДЗ в логарифмических уравнениях

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х». Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения  бывают всякие (вот удивил, да?).  Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

1. Линейные уравнения.

2. Квадратные уравнения.

3. Дробные рациональные уравнения.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа?  А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе!  Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых!) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - тождественные преобразования уравнений. Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения?" лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Их два.)

 Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения  в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2   - 2 = 3   - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х? Ответ неверный! Справа у нас -3х! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

х=2

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

lg2 = lg8 - lgx

Это логарифмическое уравнение. Ну и что? Первым шагом всё равно будет базовое тождественное преобразование. "С иксами - влево"...) Надо выражение с иксом (-lgx) перенести из правой части в левую. Со сменой знака:

lg2 + lgx = lg8

А выражение без икса (lg2) переносим вправо. Со сменой знака:

lgx = lg8 - lg2

Справа получилась готовая формула. Кто понимает логарифмы, тот уже запросто дорешает пример. В уме. Без переноса влево-вправо это было бы затруднительно...)

Эти два примера показывают универсальность первого тождественного преобразования. Нигде его не обойти. Стало быть, надо уметь легко и непринуждённо его делать.) Собственно, ошибиться здесь можно только в одном. Забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательнее надо быть, да...)

Приступим ко второму тождественному преобразованию. С умножением-делением. Оно так же универсально и популярно, как и первое. Но простора для ошибок в нём побольше. Разберёмся, что к чему?)

Пример для младшеньких.)

Пусть нам надо решить вот такое суровое уравнение:

3х=12

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Что нам мешает? Да тройка мешает! Нам в ответе всегда чистый икс нужен! Икс равен чему-то. А тройка мешает! Как можно от неё избавиться? Перенести вправо? Э-э-э нет! Тройка с иксом умножением связана. Нельзя её оторвать и вправо перенести. Вот всё выражение 3х можно переносить (только зачем?), а тройку отдельно - нельзя.

Самое время про умножение-деление вспомнить! Чтобы слева остался чистый икс, надо левую часть разделить на три. Это НАМ надо. Получим икс, чего и требовалось. Правую часть тоже придётся разделить на три. Это МАТЕМАТИКА требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 12 на 3 замечательно делится. Получится четыре. Ответ:

х = 4

Пример для старшеньких.)

Здесь без логарифмов обойдёмся. Решаем:

Вполне солидно, правда?) Кое-кто и запутается…. Понятно, что надо делить обе части на дробь 1/5. Именно она нам мешает. Это не очень в уме удобно… Можно поступить гораздо проще. Не делить обе части на 1/5, а умножить на 5. Слева всё равно чистый икс получится, а умножать на 5 - не самая трудная работа.)

Умножение обеих частей на нужное число, позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, вполне можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

Вот и всё.

Как видите, тождественные преобразования уравнений - штука не самая сложная. Перенос, да умножение-деление. Однако, не у всех они получаются... Почему? Есть две главные причины.

Причина первая (для начинающих):

Иногда человек думает, что упрощение примеров делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может понять это правило. В одном примере начинают с переноса... В другом с домножения... В третьем три раза домножают и ни разу не переносят... Тоскует человек от неопределённости.)

А правила никакого нет.

Есть разрешённые математикой преобразования (целых два!), которые мы применяем по своему усмотрению. В удобном нам порядке. Порядок зависит исключительно от исходного примера и личных привычек решающего.

Причина вторая (почти для всех...):

Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки... Заключать выражения в скобки и раскрывать их... Складывать и вычитать дроби... Умножать и делить дроби... Короче, в наличии весь набор элементарных вычислений. Дальше понятно...

Обе эти причины замечательно устраняются практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания - легче.)

Как выразить одну переменную через другую?
Как выразить переменную из формулы?

Умение делать такие вещи крайне необходимо в математике. Во всех разделах, без исключения. По этой причине, задания подобного рода обязательно присутствуют в выпускных экзаменах. И в ГИА, и в ЕГЭ. И в базовом уровне, и в профильном.

Имеет смысл разобраться, правда?) Тем более, что ничего сложного здесь нет. Есть применение тождественных преобразований уравнений и... всё!

Вся теоретическая часть подобных заданий заключается в одной фразе. Вот она, эта фраза: любая формула, любое равенство с буквами - это тоже уравнение. Усвоили эту сложную теорию?) Тогда остаётся правильно применять тождественные преобразования на практике.

Начнём с простого. Как выразить одну переменную через другую? Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется уравнение:

2x - 3y = 4

Здесь две переменные. Икс и игрек.

Допустим, нам нужно выразить х через у.

Что означает это задание? Она означает, что в итоге мы должны получить какое-то равенство, где в левой части стоит чистый х, без всяких букв и чисел. В гордом одиночестве. А в правой части - что уж получится. И как добраться до этого результата? Легко! С помощью тождественных преобразований.

Напоминаю: преобразования можно применять в каком угодно порядке! Вот и применяем, шаг за шагом добираясь до чистого икса.

Смотрим на левую часть уравнения:

2x - 3y = 4

Здесь нам мешаются двойка перед иксом и -3у. Начнём с -3у, это проще будет.

Перебрасываем -3у в правую часть, со сменой знака, разумеется:

2x = 4 + 3y

Осталась двойка перед иксом. Как от неё избавится? Разделить обе части уравнения на 2! Получим:

Вот и всё. Мы выразили х через у. Можно ли было сразу делить обе части исходного уравнения на двойку, а уж потом переносить? Запросто! Но это привело бы к появлению дробей в процессе решения, что не очень удобно. А так дробь появилась только в самом конце.

А можно ли из этого же уравнения

2x - 3y = 4

выразить у через х? Можно, конечно. Только теперь слева нам нужен чистый у, а не х. Вот и "очищаем" игрек от соседей.) Сначала избавляемся от выражения 2x. Переносим его в правую часть:

- 3y = 4 - 2x

Теперь мешает тройка с минусом. Делим обе части на -3:

Вот и всё. Мы выразили у через х. Переходим к более хитрым примерам.

Как выразить переменную из формулы? Не вопрос!) Точно так же!

К примеру, имеется задание:

Из формулы

выразить переменную b.

Формула - тоже уравнение! Стало быть, нам надо получить новую формулу, где слева - чистая b, а справа - то, что уж получится в результате "очищения" b.

Однако... Как же эту b вытаскивать-то!?

Как, как... По шагам! Выделить чистую b сразу невозможно. Она в дроби сидит. А дробь умножается на h... Значит, очищаем, для начала, выражение с b, т.е. дробь, целиком. Если можно, разумеется. Здесь - можно поделить обе части формулы на h. Получим:

Следующий шаг - выдернуть b из числителя дроби. Это делается просто. Избавимся от дроби. Нет дроби - нет числителя!) Умножим обе части формулы на 2. Вот так:

Остались сущие пустяки. Оставляем b в гордом одиночестве, т.е. переносим a в левую часть:

Ответ почти готов. Осталось переписать его в привычном нам виде. Равенство, оно, что слева-направо, что справа-налево - всё едино:

Надеюсь, общая идея понятна. Делаем элементарные тождественные преобразования с целью уединить интересующую нас переменную. Главное здесь - не последовательность шагов (она может быть любой), а их правильность.

Разные последовательности дадут разные пути к одному и тому же результату. Путь может получиться простым, может получиться сложным. Тут практика рулит. Решите десяток-другой примеров, сами почувствуете, как проще.

В данном разделе рассматриваются только два базовых тождественных преобразования уравнений. Кроме этой парочки существует множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но, при определённых условиях. Скажем, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны. Подобные преобразования рассматриваются в соответствующих темах.

А здесь и сейчас - примеры для тренировки по элементарным преобразованиям.

Простенький пример:

Из формулы

выразите переменную t и найдите её значение при v₀=7, v=16, a=3.

Пример посложнее:

Из формулы

выразите переменную m и найдите её значение при x=1, n=2.

А вот задание на основе реального варианта ГИА:

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = J²R, где J - сила тока (в амперах), R - сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление (в омах), если мощность составляет 80 Вт, а сила тока равна 4 А.

Задание на основе реального варианта ЕГЭ:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз со скоростью v (в м/сек), испускает ультразвуковые импульсы частотой f₀=374 МГц. Частота отражённого от дна сигнала f, регистрируемая приёмником (в МГц), определяется по формуле

где c =1500 м/с — скорость звука в воде, f₀ — частота испускаемых импульсов (в МГц). Определите скорость погружения батискафа v в м/с, если частота отражённого от дна сигнала f составляет 376 Мгц.

В реальных заданиях "многа букафф", да...) Но тема та же.

Ответы (в беспорядке):

2; 3; 4; 5.

А где числа, омы, метры в секунду - это уж сами... )

В следующих уроках вы сможете познакомиться с практикой тождественных преобразований в конкретных уравнениях. В линейных, квадратных и дробных. С пояснениями что, как, зачем и почему мы делаем. Очень помогает!)

Предыдущая страница: Дроби. Действия с дробями. Умножение и деление дробей.

Следующая страница: Линейные уравнения. Решение, примеры.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.