Решение показательных уравнений. Примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )
Что такое показательное уравнение? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.
Вот вам примеры показательных уравнений:
5х+2 = 125
3х·2х = 8х+3
32х+4·3х-5 = 0
Ну, и так далее.
Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа. В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если, вдруг, в уравнении вылезет икс где-нибудь, кроме показателя, например:
2х = 3+х,
это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Мы их пока рассматривать не будем. Здесь мы будем разбираться с решением показательных уравнений в чистом виде.
Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.
Решение простейших показательных уравнений.
Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:
3х = 32
Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не катит. А теперь глянем на запись решения этого хитрого показательного уравнения:
3х = 32
х = 2
Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки). Совсем выкинули. И, что радует, попали в точку!
Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней. Математика позволяет. Остаётся дорешать куда более простое уравнение. Здорово, правда?)
Однако, запомним железно: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:
2х+2х+1 = 23, или
2·2х = 24
двойки убирать нельзя!
Ну вот, самое главное мы и освоили. Как переходить от злых показательных выражений к более простым уравнениям.
"Вот те раз!" - скажете вы. "Кто ж даст такой примитив на контрольных и экзаменах!?"
Вынужден согласиться. Никто не даст. Но теперь вы знаете, куда надо стремиться при решении замороченных примеров. Надо приводить его к виду, когда слева - справа стоит одно и то же число-основание. Дальше всё будет легче. Собственно, это и есть классика математики. Берём исходный пример и преобразовываем его к нужному нам виду. По правилам математики, разумеется.
Рассмотрим примеры, которые требуют некоторых дополнительных усилий для приведения их к простейшим. Назовём их простыми показательными уравнениями.
Решение простых показательных уравнений. Примеры.
При решении показательных уравнений, главные правила - действия со степенями. Без знаний этих действий ничего не получится.
К действиям со степенями надо добавить личную наблюдательность и смекалку. Нам требуются одинаковые числа-основания? Вот и ищем их в примере в явном или зашифрованном виде.
Посмотрим, как это делается на практике?
Пусть нам дан пример:
22х - 8х+1 = 0
Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! Два и восемь. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что
8 = 23
Двойка и восьмёрка - родственнички по степени.) Вполне можно записать:
8х+1 = (23)х+1
Если вспомнить формулку из действий со степенями:
(аn)m = anm,
то вообще отлично получается:
8х+1 = (23)х+1 = 23(х+1)
Исходный пример стал выглядеть вот так:
22х - 23(х+1) = 0
Переносим 23(х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:
22х = 23(х+1)
Вот, практически, и всё. Убираем основания:
2х = 3(х+1)
Решаем этого монстра и получаем
х = -3
Это правильный ответ.
В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём (шифровка общих оснований под разными числами) - очень популярный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.
Дело в том, что возвести любое число в любую степень - не проблема. Перемножить, хоть на бумажке, да и всё. Например, возвести 3 в пятую степень сможет каждый. 243 получится, если таблицу умножения знаете.) Но в показательных уравнениях гораздо чаще надо не возводить в степень, а наоборот... Узнавать, какое число в какой степени скрывается за числом 243, или, скажем, 343... Здесь вам никакой калькулятор не поможет.
Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да... Потренируемся?
Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Ответы (в беспорядке, естественно!):
54; 210; 73; 35; 27; 102; 26; 33; 23; 21; 36; 29; 28; 63; 53; 34; 25; 44; 42; 23; 93; 45; 82; 43; 83.
Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает... Например, 26, 43, 82 - это всё 64.
Предположим, что вы приняли к сведению информацию о знакомстве с числами.) Напомню ещё, что для решения показательных уравнений применим весь запас математических знаний. В том числе и из младших-средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, верно?)
Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:
32х+4 -11·9х = 210
И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:
9х = (32)х = 32х
По тем же правилам действий со степенями:
32х+4 = 32х·34
Вот и отлично, можно записать:
32х·34 - 11·32х = 210
Мы привели пример к одинаковым основаниям. И что дальше!? Тройки-то нельзя выкидывать... Тупик?
Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:
Не знаешь, что нужно - делай, что можно!
Глядишь, всё и образуется).
Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 32х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:
32х(34 - 11) = 210
Что ещё можно сделать? Посчитать выражение в скобках:
34 - 11 = 81 - 11 = 70
Пример становится всё лучше и лучше!
70·32х = 210
Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:
32х = 3
Оп-па! Всё и наладилось!
32х = 31
2х = 1
х = 0,5
Это окончательный ответ.
Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.
Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.
Решим уравнение:
4х - 3·2х +2 = 0
Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.
4х = (22)х = 22х
Получаем уравнение:
22х - 3·2х +2 = 0
А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.
Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!
Итак, пусть
2х = t
t>0
Ввели ограничение на значение переменной (действительно, число 2 в любой степени будет числом положительным. Решив уравнение относительно переменной t, отбросим корни, которые не будут соответствовать этому условию)
Тогда 22х = 2х2 = (2х)2 = t2
Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:
t2 - 3t+2 = 0
Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:
t1 = 2
t2 = 1
Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1:
t1 = 2 = 2х
Стало быть,
2х = 2
х1 = 1
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 1 = 2х
2х = 1
Гм... Слева 2х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:
1 = 20
2х = 20
х2 = 0
Вот теперь всё. Получили 2 корня:
х1 = 1
х2 = 0
Это ответ.
При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:
2х = 7
Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?", только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:
x = log27
Такого ответа в заданиях "первой части" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "второй части" - запросто.
В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.
Практические советы:
1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".
Итак, решение самых простых показательных уравнений усвоили. А теперь разберем решение еще некоторых типов уравнений – посложнее.
Решим уравнение 2x+3 = 0,4·5x+3. Итак, в уравнении имеем две степени - одна с основанием 2, у другой степени основание 5. Это плохо? Нет, потому что у степеней одинаковые показатели степени. Сейчас уменьшим число оснований, путем деления обеих частей уравнения на одно и то же число (математика разрешает это сделать, а именно умножить или разделить обе части уравнения на число или выражение, которое не равно нулю). Мы разделим обе части уравнения на 5x+3≠0 (ведь точно, 5x+3 ни при каком значении икс не будет равно нулю!). А кроме этого, заметим, что если записать число 0,4 обыкновенной дробью, то после сокращения дроби появятся числа 2 и 5 ( ). Записываем получившееся уравнение:
Запишем левую часть уравнения как дробь в степени и сократим дробь в правой части уравнения. После всех преобразований имеем вот такое простое уравнение:
Теперь имеем право приравнять показатели степени. И получаем самое простое уравнение
x + 3 = 1
x = -2. Ответ: -2
Затем решим вот такое уравнение: . Для начала уравнение проанализируем. Имеем дело с показательным уравнением, так как икс находится в показателе степени (вверху), в левой части уравнения два различных основания 3 и 0,3. Однако показатели степени одинаковые, следовательно, можем применить свойство степеней
(a·b)n = an·bn
Тогда левая часть уравнения примет вид (3·0,3)x = 0,9x. Теперь преобразуем правую часть уравнения, помня, что и в правой части уравнения необходимо получить основание 0,9 в какой-то степени. Сначала займемся подкоренным выражением: 0,81 = 0,92. Далее корень запишем в виде степени с дробным показателем степени, применив следующее свойство , значит . Итак, после преобразований имеем уравнение нужного нам вида:
Левая часть уравнения равна правой части, основания степеней равны, следовательно, равны и показатели степени
. Ответ: .
Еще уравнение. 24х+2·5-3х-1=6,25·2х+1. В этом уравнении два различных основания 2 и 5. Уменьшим число оснований путем деления на одно из оснований. Разделим обе части уравнения на 2x+1≠0. Тогда запишем:
В левой части уравнения поделим степени с основанием 2 (напоминаю, что при делении степени на степень с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, ), а в правой части уравнения сократим дробь. После этих преобразований уравнение вот так будет выглядеть
23x+1·5-3x-1=6,25
Правую часть уравнения представим в виде обыкновенной дроби
В левой части уравнения к степени с основанием 5 применим определение отрицательной степени числа , в правой же части уравнения сократим дробь
.
И теперь можно заметить, что степени в обеих частях уравнения приводятся к одному основанию. В правой части уравнения вот, что проделаем: .
Получаем уравнение нужного нам вида (слева и справа одинаковые основания в каких-то степенях):
.
И финал решения – приравниваем показатели степени
3x+1=-2
3x=-3
x=-1. Ответ: -1.
Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.
Начнём?
Решить показательные уравнения:
6х = 216
8х+1 = 0,125
Посложнее:
2х+3 - 2х+2 - 2х = 48
9х - 8·3х = 9
2х - 20,5х+1 - 8 = 0
Найти произведение корней:
23-х + 2х = 9
Получилось?
Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):
70.13х + 130,7х+1 + 20,5х+1 = -3
Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)
25х-1 · 33х-1 · 52х-1 = 720х
Пример попроще, для отдыха):
9·2х - 4·3х = 0
И на десерт. Найти сумму корней уравнения:
х·3х - 9х + 7·3х - 63 = 0
Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).
Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):
1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.
Всё удачно? Отлично.
Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)
Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
|