ОБОЙДИ  УЖЕ  ЭТИ  ГРАБЛИ! :-)

• Hовое на сайте
  
  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Решение задач на формулу n-го члена.
    

  • 
    В разделе 555:
    Арифметическая прогрессия.
    Основа для решения заданий.
    

  • 
    В разделе 555:
    Разбираемся с арками. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях.
    

  • 
    В разделе 2:
    Что такое математическая модель? Составление математической модели.
    

  • 
    В разделе 555:
    Как решать дробные уравнения?
    

• Как проходит ЕГЭ?
  >
  • Перед экзаменом.
     
  • Во время экзамена.
     
  • По окончании экзамена.

• Что будет на ЕГЭ по математике?
  >
  • Базовый и профильный уровни.
     
  • Как работать на ЕГЭ?

• Система оценок в ЕГЭ

• Как готовиться к ЕГЭ?

• Как учить математику?

• Дроби
  >
  • Виды дробей. Преобразования.
     
  • Сложение и вычитание дробей.
     
  • Умножение и деление дробей.

• Уравнения
  >
  • Как решать уравнения? Тождественные преобразования.
     
  • Линейные уравнения.
     
  • Квадратные уравнения. Дискриминант.
     
  • Дробные уравнения. ОДЗ.

• Решение задач по математике
  >
  • Как решать задачи по математике?
     
  • Что такое математическая модель? Составление математической модели.
     
  • Задачи на движение.
     
  • Задачи на работу.

• Проценты. Задачи на проценты

• Числовые и алгебраические выражения. Преобразования выражений
  >
  • Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования.
     
  • Разложение на множители.
     
  • Формулы сокращённого умножения.

• Квадратные корни
  >
  • Что такое квадратный корень?
     
  • Свойства (формулы) корней. Как умножать корни?
     
  • Как делить корни? Корень из квадрата. Корень в квадрате.

• Арифметическая прогрессия
  >
  • Понятие арифметической прогрессии. Разность прогрессии.
     
  • Формула n-го члена арифметической прогрессии.
     
  • Сумма арифметической прогрессии.

• Логарифмы. Основы

• Тригонометрия. Основные понятия
  >
  • Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
     
  • Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность.
     
  • Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
     
  • Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
     
  • Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.
     
  • Как не забыть таблицу синусов и косинусов.
     
  • Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

• Тригонометрия. Решение уравнений
  >
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью круга.
     
  • Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

• Неравенства
  >
  • Линейные неравенства. Решение, примеры.
     
  • Квадратные неравенства. Решение, примеры.

• Показательные уравнения

• Логарифмические уравнения
  >
  • Простейшие логарифмические уравнения
     
  • ОДЗ в логарифмических уравнениях

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..." )

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби, например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем, нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Зззззапомни! Зззззнаменатель - внизззззу!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

1/2 = 1 : 2

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32 : 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби, например:

0,5 или 3,28 или 0,125 и так далее.

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа, например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби. С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями!

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби. Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь. 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей. Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555.

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь  знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов  преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную.

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится. Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную!

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите эти смешанные числа в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555. Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать. Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам!

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8;  0,75;  0,15;  1,4;  0,725;  0,012 

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

Что, не всё сходится? А сократить, часом, не забыли?) Обыкновенные дроби принято сокращать до упора, пока они сокращаются.

Получилось? Отлично, едем дальше. Переведите смешанные числа в обыкновенные дроби:

Ответы (в беспорядке):

Без проблем? Отлично!

А теперь переводим обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби. Без калькулятора, разумеется!)

Ответы (через точку с запятой, в беспорядке):

0,125;  точно не переводится;   2,7;   3,75;   3,8;   1,4.

И здесь всё сходится? Удачно! 

Не всё получилось? Это зря... Как вы будете ответы на задания "В" в ЕГЭ записывать!? Пока не поздно, рекомендую посетить особый Раздел 555. Там приводится решение всех этих примеров. Плюс маленькие хитрости, которые жизнь облегчают.)

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555. Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Далее мы повторим действия с дробями. Как их складывать-вычитать и умножать-делить.

Предыдущая страница: С тебя и тройки хватит!

Следующая страница: Дроби. Действия с дробями. Сложение и вычитание дробей.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.