Автор: Сергей Смирнов
Разложение на множители. Примеры.
Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.
Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме - прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова "умножить" сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык...) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
12=3·4
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Вариантов разложения - бесконечное количество.
Разложение чисел на множители - штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она - необходимая! Чисто для примера:
Упростить:

Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет - упрощает и получает:

Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х5 - x4= 0
Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x1= 0; x2= 1.
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:

Что, не подарок?) А вы читайте дальше, сами удивитесь, как всё просто. Ответ будет: x1= 1; x2= 10.
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа - ноль, а слева - не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).
Основные способы разложения на множители.
Вот они, самые популярные способы:
1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Группировка.
3. Формулы сокращённого умножения.
4. Разложение квадратного трёхчлена.
Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться... Вот по порядочку и начнём.)
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.
Все знают (я верю!)) правило:
a(b+c) = ab+ac
Или, в более общем виде:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:
ab+ac = a(b+c)
Или:
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.
В левой части а - общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.
Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.
Разложить на множители:
ах+9х
Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:
ах+9х=х(
А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:

Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:
Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.
Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак "+"! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!
Как так!? - слышу возмущённый глас народа - А в скобках!?)
Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.
Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть - получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)
х(а+9)=ах+9х
Получилось.)
В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками... Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:
При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.
Двигаемся дальше и усложняем задачу:
Разложить на множители:
3ах+9х
Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:
3ах+3·3х
Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х. Вот его и выносим:
3ах+3·3х=3х(а+3)
Разложили.
А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:
3ах+9х=х(3а+9)
Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:
3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)
То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:
При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.
Продолжаем развлечение?)
Разложить на множители выражение:
3ах+9х-8а-24
Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е... Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету... Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же... Знакомьтесь:
2. Группировка.
Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:
3ах+9х-8а-24
Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но... Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых - нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.
Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:
3ах+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.
Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:
3ах+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а-24)
это будет ошибкой. Справа - уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да...)
Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:
(3ах+9х)=3х(а+3)
Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:
(8а+24)=8(а+3)
Всё наше выражение получится:
(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)
Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но... В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3). Я не зря говорил, что скобки целиком - это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)
Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3), во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3):
3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)
Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Повторим кратенько суть группировки.
Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.
Добавлю, что группировка - процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь - не падать духом!)
Примеры.
Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких...
Упростить:

В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.
Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель... Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Пишем результат разложения в числитель дроби:

По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8). И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:

Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения - просто нет.
Пример с уравнением:
Решить уравнение:
х5 - x4= 0
Выносим общий множитель х4 за скобки. Получаем:
х4(x-1)=0
Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:
х4=0
При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое... Стало быть:
х=0
С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):
x-1=0
x=1
Вот и нашли решение: x1= 0; x2= 1. Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.
Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно - решать будем точно так же. По кусочкам. Например:
(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0
Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа - ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x1= 1; x2= -5; x3= 3; x4= -2.
Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)
Ну и, последний пример, для старшеньких):
Решить уравнение:

Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.
Выносим общий множитель lg4x за скобки. Получаем:
lg4x(lgx-1)=0
Дальше всё, как в предыдущем примере:
lg4x=0
lgx=0
х=1
Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.
lgx-1=0
lgx=1
х=10
Вот и окончательный ответ: x1= 1; x2= 10.
Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)
В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.
Предыдущая страница: Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.
Следующая страница: Формулы сокращённого умножения.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
|