Oтзывы о сайте Oпросы сайта   Hовости ЕГЭ  

 

Содержание сайта
Раздел 1.
Про ЕГЭ.





 

Раздел 2.
ЕГЭ на 3.










 

Раздел 3.
ЕГЭ на 4.







 

Раздел 4.
ЕГЭ на 5.


 

Раздел 5.
Решаем
задания ЕГЭ.


 

Раздел 555.
Особый.


 

 

Написать автору: egesdam@ya.ru

 

Автор: Сергей Смирнов
Дата:    31.12.2012
Редакция 23.11.2015

 

Задачи на работу

 

Основные понятия. Простые задачи на работу.

В задачах на работу речь идёт, как правило, о какой-то деятельности. Трубы заполняют бассейн, комбайнёры убирают урожай, строители строят дом и так далее. Любая может быть деятельность. Иногда и не очень похожая на работу...) Но в таких задачах всегда обыгрывается один и тот же набор величин.

Величины железно связаны между собой и образуют формулу-ключ. Именно этим ключиком и открывается решение любых задач на работу. Разберёмся, из каких же величин состоит формула-ключ. Их, величин, всего ничего. Три.

 

Первая величина в задачах на работу - время. Параметр простой и привычный. Это время, за которое выполняется та или иная работа. Измеряется, как вы догадываетесь, в секундах, минутах, часах, сутках и так далее. Обозначать время мы будем стандартно - буквой t.

 

Вторая величина - объём работы. Тоже параметр понятный. Сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Измеряется, соответственно, в тех единицах, о которых идёт речь в задаче. В деталях, литрах, полях и т.д. Я буду обозначать объём работы буквами Об.

 

Третья величина менее привычна. Это - производительность. Слово может и смутить кого-то, да...) Но, по сути, это просто скорость работы. И всё! Кто-то (или что-то) работает быстрее, а кто-то (что-то) - медленнее. Обычное дело.) Обозначим эту производительность буквами Пр.

 

В чём измерить скорость работы? Включаем элементарную логику. Если столяр Николай делает 5 табуреток в день, а столяр Василий - две, то кто быстрее работает?) Отсюда логичный вывод. Скорость любой работы (т.е. производительность) можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время. За единицу времени. Литры за час, табуретки за день, пирожки за минуту...

Из этих простых размышлений и получается формула для производительности:

 

 

Это и есть формула-ключ для решения любых задач на работу.

Формулка очень похожа на формулу скорости в задачах на движение. Только там в числителе - пройденный путь. В метрах, километрах... А здесь - - сделанная работа. В гектарах, тоннах, табуретках... Вот про что задача, вот в тех единицах и будет числитель. Пока ничего хитрого, правда?)

Потренируемся в применении формулы-ключа. Для начала - в простых задачках на работу.

Токарь делает 5 деталей в час. Сколько деталей он сделает за 7 часов?

Конечно, тут и безо всяких формул всё ясно. Пять в час, значит за семь часов - в семь раз больше. 5 · 7 = 35. Ответ: 35 деталей.

Эту примитивную задачку я не просто так дал. Здесь важно увидеть, что в словах "5 деталей в час" зашифрована производительность. Т.е, чтобы узнать объём сделанной работы, надо производительность умножить на время работы. Это та же формула-ключ в другой записи:

 

 

Ещё задачка:

Токарь делает 5 деталей в час. Ему нужно сделать 20 деталей. За какое время он выполнит эту работу?

Тоже не проблема, верно?) Надо общее количество деталей разделить на число сделанных в час, вот количество часов и узнаем! 20 деталей (объём работы) делим на 5 деталей в час (производительность работы), получаем 4 часа. Это ответ. Вот вам и третья запись формулы-ключа. Для определения времени работы:

 

 

Конечно, это всё одна и та же формула. Тем, кто владеет тождественными преобразованиями, достаточно запомнить всего одну (любую) из этих записей. Остальные из неё получаются за секунду. Но не всем же такое счастье...?)

В таких элементарных задачках на работу формулы не особо-то и нужны. Можно и смекалкой обойтись. Но кто ж нам на ЕГЭ и ГИА элементарщину даст... Порешаем задачу посложнее:

Вера и Лера узнали, что у Саши - день рождения. И сразу же стали набирать СМС-ки! Вообще-то, Вера умеет набирать 24 слова за 4 минуты, а Лера - 35 слов за 7 минут. Вера набрала поздравление из 30 тёплых слов, А Лера - из 20. Чьё поздравление Саша получит первым?

Такая вот работа.)

Много циферок, да... И все разные. Как сравнивать!? Да легко! Для начала вычислим, с какими скоростями строчат Вера и Лера. Т.е. определим производительности. Разберёмся с Верой. Она набирает 24 слова (объём работы) за 4 минуты (время). Значит, её производительность (по самой первой формуле):

Пр = Об/t = 24/4 = 6

Шесть слов в минуту - производительность Веры. Аналогично просчитаем Леру. Её производительность:

Пр = Об/t = 35/7 = 5

5 слов в минуту. Да, медленнее печатает Лера... Но ведь у неё и сообщение короче! Придётся считать сколько времени затратила каждая на своё сообщение. Подумаешь! Теперь-то мы знаем, как это делать. По последней формуле, которая для времени t.

Вера набрала 30 слов. Значит, затратила на это времени:

t = Об/Пр = 30/6 = 5 минут.

Лера потратила на свои 20 тёплых слов:

t = Об/Пр = 20/5 = 4 минуты.

Вот так. Лера опередила Веру. На одну минуту.

В чём фишка этой задачи на работу? В том, что все исходные данные - разные. Их нельзя просто так сравнивать друг с другом. Но стоит посчитать производительность - так всё и налаживается. Этот факт имеет смысл запомнить. Очень часто простое вычисление производительности высвечивает всё дальнейшее решение!

Но не во всех задачах так легко найти производительность, да...

В этом и заключается следующее усложнение задач на работу.

Попробуйте определить производительность по таким данным:
Труба заполняет бассейн за 2 часа...
Бригада строителей строит дом за 25 дней...
Трактор рапахивает поле за 16 часов...
Программист выполняет заказ за 3 дня...

Вот тут у многих возникают проблемы... А зря! Нет здесь особых проблем. Смотрите сами.

Труба заполняет бассейн за 2 часа...

Чему здесь равно время работы трубы? Очевидно, два часа. А объём работы? Бассейн! ОДИН бассейн. Вот и все дела. Определяем производительность по стандартной формуле, делим ОДИН бассейн на два часа:

Пр = Об/t = 1/2

Производительность получилась дробная. Одна вторая. Ну и ничего страшного. Труба за час заполняет одну вторую часть бассейна. Или - половину. Вполне реальная ситуация.

Теперь, когда вы осознали, что дробная производительность тоже бывает - остальные вопросы решаются легко и элегантно.)

Бригада строителей строит дом за 25 дней...

ОДИН дом делим на 25 дней и получаем производительность 1/25. Другими словами, скорость работы бригады - одна двадцать пятая часть дома в день.

Производительность трактора - 1/16. Производительность программиста - 1/3. Ничего сложного. Оно конечно, дальше придётся решать с дробями, но тут уж ничего не поделаешь. Дробей в задачах на работу никто не отменял, да...)

Итак, здесь мы познакомились с основными понятиями всех задач на работу: время работы, объём работы и производительность. И даже узнали, как они связаны между собой в формуле-ключе. Это главное. Именно поэтому мы здесь рассматривали очень простые задачки, безо всяких наворотов и иксов. Чтобы суть не потерять за наворотами.)

Рекомендую: если в простых задачах на работу вы не знаете, с чего начинать - начните с определения величин, входящих в формулу-ключ. Ищите производительность, объём, время. Вот что можно найти из условия задачи - то и ищите. Очень часто этот первый шаг проясняет весь ход решения. Если же возникнет проблема с производительностью для какой-то ОДНОЙ (бассейн, заказ, дом и т.д.) работы, то вы уже в курсе.)

Но задачки, что мы здесь решали - это не очень полноценные задачи на работу... В них отсутствует главная прелесть таких задач. В них нет слов, которые приводят в содрогание знающих людей.) Эти слова: совместная работа.

 

Задачи на совместную работу.

Совместная работа возникает, когда несколько человек (бригад, насосов, тракторов и т.д) выполняют одну и ту же работу вместе. С разными скоростями, между прочим... И основная сложность в задачах на совместную работу - время.

Например, школьная классика:

Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая - за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно?

Вот тут многие и зависают... Первый порыв души - сложить время 4 часа и 6 часов приводит к совершенно дикому результату. Десять часов! Получается, что при более мощном потоке из двух труб, бассейн заполняется куда медленнее, чем из одной! А это уже ни в какие ворота не лезет, правда?)

Нельзя времена складывать.

Но что-то же складывать можно?! Они же вместе работают?! Да, можно. Складывать можно производительности. Прикиньте, если столяр Николай делает 5 табуреток в день, а столяр Василий - две, то вместе они сколько делают в день? Ясен перец, 5 плюс 2 будет семь! Семь табуреток в день - это и будет совместная производительность Николая и Василия.

Вот и в задачке про трубы надо, первым делом, определить производительности.

Ну, это мы уже умеем. Для первой трубы, которая заполняет 1 (ОДИН) бассейн за 4 часа:

Пр = Об/t = 1/4

За час эта труба нальёт 1/4 часть бассейна. Для второй трубы:

Пр = Об/t = 1/6

Одну шестую часть бассейна нальёт вторая труба за час. Ну а вместе, при совместной работе, трубы нальют за час:

1/4 + 1/6 = 5/12

Это и будет совместная производительность двух труб. Остались сущие пустяки. Мы знаем объём работы: 1 (ОДИН) бассейн. Мы знаем совместную производительность: 5/12 бассейна в час. И мы знаем, формулу-ключ для определения времени!

Вот и считаем:

t = Об/Пр = 1 : 5/12 = 12/5 = 2,4

Это и будет ответ. 2,4 часа. Задача на совместную работу решилась в четыре простых действия. Стоило только перейти к производительностям, которые можно складывать.)

В этой школьной классике про трубы - вся суть задач на совместную работу. В более сложных задачах добавляются какие-то дополнительные условия, задача намеренно запутывается, но суть остаётся неизменной. В качестве примера - эпическая задача из реальной жизни.)

 

Это случилось на морском побережье...

На побережье Красноярского моря. Это море (кто не знает) сделано из могучей сибирской реки Енисея. Там, в экстремальных условиях, отдыхали друзья Коля (Пойдя), Володя (Волик) и Серёжа (Сэр). Это было круто.

Чтобы выжить на отдыхе, друзья решили поймать пару рыбин и сделать отличную уху. Закинули удочки и стали ждать клёва. Поймав первую рыбину, друзья как-то сразу поняли, что двух рыбин не хватит. Да и десяти тоже. Порода, видимо, была такая - мелкая, да... Решили, что надо поймать штук 30, или больше.

За полтора часа Сэр поймал 10 рыб, Волик - 8, а Пойдя - 7. На уху почти хватало, но нужны были ещё дрова для костра. Волик предложил, чтобы в тайгу за дровами шёл тот, у кого меньше ловится, а остальные будут рыбачить ещё 40 минут. Так рыбы больше получится. Сэр (чемпион!) радостно согласился. Но тут Пойдя некстати вспомнил, что он 34 минуты готовил чай с бутербродами, а Волик 26 минут искал дополнительную наживку для всех.... И этот факт надо учитывать. Это было честно и все согласились.

Уха получилась отличная!

Вопросы: Кто ходил за дровами в тайгу? Сколько всего было поймано рыб на уху?

Разберём эту эпическую задачу.) Начнём с первого вопроса:

Кто ходил за дровами в тайгу?

Понятное дело, чтобы наловить больше рыбы, остаются те, кто ловит быстрее. Значит, надо посчитать скорость ловли каждого. Вы уже поняли, что здесь выплывает производительность?) Для её расчёта нужно знать чистое время рыбалки у каждого. Это просто. Но... В чём считать будем? Тут и часы, и минуты...

Запоминаем: считать время можно в любых единицах. В минутах, часах, сутках и т.д. Вот в каких удобнее, в тех и считать можно. Это на правильный ответ не влияет. При одном жёстком условии. Выбранная мера должна быть для всей задачи одна. Выбрали часы, значит все времена в задаче считаем в часах. Выбрали минуты - всё считаем в минутах. В этой задаче будем работать с минутами.

Итак, чистое время рыбалки:
У Сэра: 90 минут (полтора часа).
У Волика вычитаем время на поиски наживки: 90 - 26 = 64 минуты
у Пойди вычитаем время на приготовление чая: 90 - 34 = 56 минут.

Теперь легко можно вычислить производительности. Делим объём работы (количество рыб) на чистое время рыбалки:
У Сэра производительность: Пр = Об/t = 10/90 = 1/9
У Волика: Пр = Об/t = 8/64 = 1/8
У Пойди: Пр = Об/t = 7/56 = 1/8

Дроби получились. Ничего страшного. Уху варят не из производительности, а из объёма.) Но результат огорчительный для Сэра. Потому, что 1/9 меньше, чем 1/8... Кстати, если кто в дробях путается, как сократить да сравнить - вам надо в Особый раздел 555. Без понимания дробей во всех темах тяжко будет, да...)

Итак, медленнее всех ловит Сэр. Против математики не попрёшь. Сэр взял топор и исчез в тайге. Осталось выяснить, сколько поймали рыбы Волик и Пойдя за 40 минут. Это классическая совместная работа. Как и в задаче про трубы, складываем производительности:

1/8 + 1/8 = 2/8 = 1/4

Пойдя с Воликом вместе ловят со скоростью 1/4 рыбки в минуту. Для определения объёма (количество рыб), надо время ловли (40 минут) умножить на производительность:

Об = t · Пр = 40 · 1/4 = 10

Десять рыб поймали Пойдя с Воликом, пока Сэр ходил за дровами. Да ещё предыдущие 25 штук. Вот и ответ на второй вопрос задачи:

Сколько всего было поймано рыб на уху?

25 + 10 = 35 штук.

Уха получилась отличная! Сэр объяснял всем, что в ухе главное - хорошие дрова, но и рыба тоже не помешала!)

В этой задаче мы тоже обошлись без иксов и составления уравнений. Нужды не было. Но более хитрые задачи без этих вещей решать трудно. Рассмотрим вторую эпическую задачу из реальной жизни:)

 

Это случилось на тихой и спокойной улице...

Саша (Кара), Серёжа (Сэр), Володя (Волик) и ещё один Володя (Леник) пришли в гости к другу Коле (Пойде). Волик случайно прошёл на кухню и нечаянно открыл холодильник. Там нашлась банка сгущёнки! Как вежливый человек, Волик обратился к хозяину. Он спросил: "Пойдя, ты сгущёнку будешь?"

"Буду" - слегка опешив, ответил Пойдя. Друзья открыли банку, достали ложки и работа закипела!

В процессе работы Сэр заметил один интересный момент. Он и Волик работали ложками с одинаковой скоростью. Но, пока Волик съедал две ложки, Кара съедал три, Леник четыре, а Пойдя, спокойно и хладнокровно - одну.

За пять минут работа была закончена. "Вот и всё!" - довольно объявил Кара.

"Конечно, вместе быстрее" - солидно добавил Леник - "Сколько бы Пойдя без нас с этой банкой мучался!?"

Вопрос: сколько времени пришлось бы потратить Пойде на поедание этой банки одному, если бы не бескорыстная помощь друзей?)

Это тоже задача на совместную работу. Не всякая работа в тягость, верно?) Решим задачу двумя способами. Сначала - способ самый универсальный. Годится для любых задач. Составим математическую модель задачи. Что такое математическая модель и основные правила составления расписаны по ссылке. Кроме того, поможет в решении урок Как решать задачи по математике?

Что будем брать за икс? Вопрос задачи здесь как-то не очень удобно за икс брать... Трудно его в дело пустить. А вот производительность - в самый раз! Недаром скорость работы ложками так подробно расписана.)

Если х - прозводительность Пойди, то производительность Сэра и Волика будет по 2х. Они же в два раза быстрее ложками работают. У Кары будет 3х, а у Леника 4х. Замечу, что единицы измерения производительности нас пока не волнуют. Хоть ложки в секунду, хоть вёдра в сутки. С этим потом определимся. Значит, совместная прозводительность будет:

х + 2х + 2х + 3х + 4х = 12х

Вспоминаем формулу-ключ. Можно использовать любую запись. Например:

Об = t · Пр

Совместная производительность (Пр) у нас есть: 12х. Время выполнения работы (t) тоже есть. Это 5 минут. Осталось определить объём (Об). А что его определять? Одна банка. Вот и составилась математическая модель задачи. Можно записать уравнение:

1 = 5 · 12х

Вот и все дела. Решаем уравнение, получаем:

х = 1/60

Кто не понял, как решили, тому можно пройти по ссылке Как решать уравнения?

А сейчас определимся с единицами измерения и осознаем скрытый смысл этой странной дроби, 1/60.) В чём мы считали объём? В банках! В чём мы считали время? В минутах! Вот производительность Пойди и получилась 1/60 часть банки за минуту! Остались самые пустяки. Определить время работы по известному объёму и производительности. По формуле:

t = Об/Пр = 1 : 1/60 = 60/1 = 60

60 минут мучался бы Пойдя с этой банкой в одиночку! Целый час! Друзья - великая сила.)

Второй способ решения основан на смекалке. Без иксов и математических моделей. Можно просто по ложкам посчитать, во сколько раз скорость Пойди меньше скорости всей компании в целом. В 12 раз получится. Стало быть, время одиночного поедания будет в те же 12 раз дольше. Умножим 5 минут на 12 и получим тот же правильный ответ: 60 минут.

Оба способа хороши. Один (с уравнениями) подлиннее, но работает всегда. Другой быстрый, но не к каждой задаче подходит.

Напомню, что, кроме задач на работу, на ГИА и ЕГЭ очень популярны задачи на движение и задачи на проценты. Загляните, вдруг пригодится.)

 

<<< Предыдущая страница: Решение задач на движение.

Следующая страница: Задачи на проценты. >>>

 

 

 

 

Если Вам нравится этот сайт...

 

 

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

 

 

 

 

 

 

 

 

Яндекс.Метрика